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Niveau Licence Maths 1e ann
racines complexes
Posté par jndlfntn
Bonjour
j'ai besoin de votre aide pour cet exercice :
Calculer toutes les racines commplexes de
z^n + z^(n-1) + .... + z + 1
pouvez vous me donner tout au moins le protocole de la methode pour resoudre cet exo .
merci bcpp !
pardon du retard
--- mais donc si je sors l'expression 1 - q^(n+1) / 1 - q
il faille que q ^(n+1 ) = 1 et q= 1 pour que ce quotient soit nul , or d'emblée q 
1 puis pour ce qui est de solutions qui seraient complexes et non réelles ( si jamais il y en a ) je ne saurais faire aussi .
pourquoi je melange quelle est la difference ?
il s'agit bien de :
n
z^k = (1 - z^(n+1)) / ( 1 - z)
k=0
\sum _{k=0}^{n}u_{k}=u_{0}+\cdots +u_{n}=u_{0}(1+q+\cdots +q^{n})=u_{0}{\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}\ \ (q\neq 1)
Ce que je veux dire, c'est que tu as une équation avec , reste avec
et que cela ne sert à rien de changer le nom du paramètre (q, U0,Uk) et de se concentrer plus sur la résolution.
Donc finalement tu as ; et
à résoudre.
lake @ 20-11-2017 à 00:19
Bonsoir à tous,
Plutôt
et 
Effectivement. Sincèrement c'est ce que je pensais avoir écris. mais bon ...Bonsoir à tous,
Plutôt
donc toutes les racines complexes de l'équation sont en fait les nombres de la forme
e (2
k) /(n+1)
?
mais je ne comprends pas bien.
On me dit que
L'egalité
z^(n+1) − 1 = (z − 1)(z^n + z^(n−1) + . . . + z + 1) montre que les solutions de cette équation sont les racines (n+1)-i-emes de l'unité différentes de 1. Par exemple, les solutions de
z^2 + z + 1 = 0 sont j et j^2
or comment on passe de mon équation de l'énoncé ( = 0 ) à cette égalité pour en deduire "que les solutions de cette équation sont les racines (n+1)-i-emes de l'unité différentes de 1" parce qu' il ne s'agit pas de la même equation dans la seconde on multiplie par (z-1) "gratuitement"
deuxièmement pour le polynôme de degré 2 si on met j ou j^2 dedans on obtient pas 0 ....
par consequent, ecrire que la somme des n+1termesest nulle revient bien a chercher les racines niemes de l'unité...
oui pour cette question c'est bon . merci !
c'est pour j et j ^2 que je ne comprends pas
(il s'agit bien de i qui, i ^2 = -1 ? )
quelqu'un pourrait donc répondre à la question de l'énoncé que j'ai évoqué si je n'ai pas dit juste .
jndlfntn @ 20-11-2017 à 18:28
mais je ne comprends pas bien.
On me dit que
L'egalité
z^(n+1) − 1 = (z − 1)(z^n + z^(n−1) + . . . + z + 1) montre que les solutions de cette équation sont les racines (n+1)-i-emes de l'unité différentes de 1. Par exemple, les solutions de
z^2 + z + 1 = 0 sont j et j^2
or comment on passe de mon équation de l'énoncé ( = 0 ) à cette égalité pour en deduire "que les solutions de cette équation sont les racines (n+1)-i-emes de l'unité différentes de 1" parce qu' il ne s'agit pas de la même equation dans la seconde on multiplie par (z-1) "gratuitement"
deuxièmement pour le polynôme de degré 2 si on met j ou j^2 dedans on obtient pas 0 ....
mais je ne comprends pas bien.
On me dit que
L'egalité
z^(n+1) − 1 = (z − 1)(z^n + z^(n−1) + . . . + z + 1) montre que les solutions de cette équation sont les racines (n+1)-i-emes de l'unité différentes de 1. Par exemple, les solutions de
z^2 + z + 1 = 0 sont j et j^2
or comment on passe de mon équation de l'énoncé ( = 0 ) à cette égalité pour en deduire "que les solutions de cette équation sont les racines (n+1)-i-emes de l'unité différentes de 1" parce qu' il ne s'agit pas de la même equation dans la seconde on multiplie par (z-1) "gratuitement"
deuxièmement pour le polynôme de degré 2 si on met j ou j^2 dedans on obtient pas 0 ....
philgr22 @ 20-11-2017 à 18:32
Si 1+z+z2=0, tu obtiens 1-z3= 0 d'accord?
Si 1+z+z2=0, tu obtiens 1-z3= 0 d'accord?
certes mais pourquoi ?
parce qu'on multiplie par z - 1
et en multipliant par z - 1 on ajoute la racine 1 ... qui n'est évidemment pas racine
il est riste de ne pas savoir travailler avec méthode et abstraction (en particulier le changement de lettres est ... révélateur ...
si alors :
1/ déterminer les racines de P c'est évidemment équivalent à déterminer les solutions de l'équation P(z) = 0 donc résoudre cette équation
2/ trivialement 1 n'est pas racine de P (... puisque P(1) = ... (voir cours terminale suite géométrique)
3/ donc résoudre l'équation équivaut à résoudre l'équation
... en rejetant évidemment la solution 1 (d'après 2/)
4/ trivialement mon cours sur les suites géométriques me permet de conclure que cette dernière équation est équivalente à l'équation dont les solutions sont connues
c'est moi qui suis flou
l'ensemble des solutions complexes de P(z) est donc
jndlfntn @ 20-11-2017 à 18:21
e (2ik)/(n+1)
e (2
ik)/(n+1)?