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racines d'un complexe

Posté par
princeGourmet 08-11-18 à 23:57

Bonsoir

L'énoncé demande de "calculer les racines carrées de (1+i/sqrt(2)). En déduire les valeurs de cos(pi/8) et sin(pi/8)"
Je n'arrive pas à tomber sur ce que le corrigé de mon exo donne. Si quelqu'un peut m'aider à trouver où j'ai pu me tromper.


soit:\; z = \frac{1+i}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}+i\sqrt{2}}{2} \\ Posons:\omega=\alpha+i\beta. \;\; \omega^{2}=z \\ \left|\omega \right|^{2} = \left|z \right| = \sqrt{(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}+(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}} = 1 \\ Ainsi: \; \omega^{2} = (\alpha + i\beta)^{2} \Leftrightarrow (\alpha^{2} - \beta^{2}+2\alpha i\beta)^{2} = \frac{\sqrt{2}+i\sqrt{2}}{2} \\ \left\lbrace\begin{matrix} \alpha^{2} - \beta^{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \alpha^{2} + \beta^{2} = 1 \\ 2\alpha i\beta = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{matrix}\right.

en additionnant et soustrayant les lignes 1 et 2, on obtient :

\\ \begin{cases} \\ & \alpha^{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}+1 = \frac{ 2+\sqrt{2}}{2}  \\ \\ & \beta^{2} = \frac{ 2-\sqrt{2}}{2} \\ \\ & \alpha\beta\; \text{de même signe}   \\ \end{cases} \\

Donc :
\alpha = \sqrt{\frac{2+\sqrt{2}}{2}} \ et \ \beta = \sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{2}} \\ \omega = \sqrt{\frac{2+\sqrt{2}}{2}} + i\sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{2}}.

Donc voilà, sauf que le corrigé me donne que :
\omega =\frac{1}{2} \sqrt{2+\sqrt{2}} + i \frac{1}{2} \sqrt{2- \sqrt{2}}

Merci d'avance pour votre précieuse aide

Posté par
sanantonio312re : racines d'un complexe 09-11-18 à 00:09

Bonjour,
Petite erreur:
En additionnant et en soustrayant les lignes 1 et 2, on trouve:
22=...
Et
22=...

Posté par
princeGourmetre : racines d'un complexe 09-11-18 à 00:32

En effet ^^

ce serai donc :   \alpha = \frac{\frac{2+\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{2+\sqrt{2}}{4} \\ \\
pareil pour beta hormis le signe de sqrt(2).
Mais je n'arrive toujours pas à conclure...

Posté par
sanantonio312re : racines d'un complexe 09-11-18 à 08:03

Ben si.
Quand tu prends la racine carrée de , le 4 du dénominateur devient 2.


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