Etude de fonctions : tu dérives et blabla...

merci pour votre réponse,

Mais je voulais savoir s'Il existe une autre méthode avec les polynomes scindés et tout ça

si on suppose que est une racine rationnelle de ce même polynome P, = p/q avec pq=1
on nous demande de montrer que p et q sont des diviseurs de 1 et conclure que P est irréductible dans [X]
je comprends pas, p et q diviseurs de 1, alors qu'ils sont premiers entre eux. je trouve que p/q³, qu'est ce que je peux conclure?

Bonsoir,

On doit avoir
(p/q)³ - (p/q)² - 2(p/q) + 1 = 0
En multipliant par q³, cela donne :

p³ - p²q - 2pq² + q³ = 0

p(p² - pq - 2q²) = -q³

p divise donc q³. Comme p est premier avec q, p divise 1.

Idem pour q.

Donc p/q = 1

Or ni 1 ni -1 ne sont racines de P, qui n'a donc aucune racine rationnelle.

Si P était réductible sur , il s'écrirait comme un produit de deux polynômes non constants, un de degré 1 et un de degré 2.
Le polynôme de degré 1 aurait une racine rationnelle, qui serait aussi racine de P.
c'est impossible donc P est irréductible.

merci je savais pas exploiter le résultat p/q³