Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau LicenceMaths 2e/3e a
Partager :

rang et dimension du kernel

Posté par
Amadeus27
20-11-20 à 21:19

bonjour a tous ,  j'ai un exercice laissé sans correction et j'aimerai bien le faire et donc savoir si ce que j'ai fais a l'air correct ou non. Voici l'enoncé :

Soit E,F,G,H espace vectoriels de dimension finie.
Soit u \in \mathcal L(E,G) et v \in \mathcal L(F,H) tel que \mathcal L(E,G) est l'ensemble des applications linéaires de E \rightarrow G
On a que l'image de u\otimes v \in \mathcal L(E\otimes F,G\otimes H) et est  u(E)\otimes v(F)
Trouver le Rg(u\otimes v), en utilisant la dimension des espaces trouver aussi la dimension du noyau de u\otimes v

Voici ce que j'ai fais :  on sait que les espaces sont de dimensions finis donc :

\dim(u(E)) = n = \dim(G) \; et \; \dim(v(E))= n' =\dim(H) \; , \dim(E)=k \; \dim(F)=k'
On a donc que :
\dim $(($u\otimes v)(E \otimes F) = \dim (u(E) \otimes v(F))= n n'=\dim (\Im(u\otimes v)) et donc Rang(u\otimes v)=nn'
\dim(E\otimes F)= kk' , Grace au theoreme du rang on a que :
\dim(\Im(u\otimes v)) \;- \dim(E\otimes F) =\dim(\ker(u\otimes v)
\dim(\ker(u\otimes v)= nn'-kk' et donc la dimension du noyau de u\otimes v

Voici quelques resultats tirés de mon cours utilisé ici sans justification :
(On sait que la dimension de l'image est equivalente au rang)
(Si E,F,G,H espaces vectoriels de dimension finie) Avec \dim(E)=m , \dim(F)=p alors :

\dim(E\otimes F)= mp , et il existe un isomorphisme tq
\mathcal L(E,G) \otimes \mathcal L(F,H) \simeq \mathcal L(E\otimes F,G\otimes H)



Voila ce que j'ai fais est ce que cela vous semble t il correct ?

Posté par
XZ19
re : rang et dimension du kernel 21-11-20 à 08:56

Bonjour
L'énoncé n'est pas clair.  D'abord  la définition de \bigotimes  n'est pas standard (pour moi)  tu pourrai déjà le préciser.

Posté par
GBZM
re : rang et dimension du kernel 21-11-20 à 09:14

Bonjour,

Tu fais comme si u(E)=G et v(F)= H. Rien ne dit ça dans l'énoncé.

Posté par
Amadeus27
re : rang et dimension du kernel 21-11-20 à 10:07

XZ19 @ 21-11-2020 à 08:56

Bonjour
L'énoncé n'est pas clair.  D'abord  la définition de \bigotimes  n'est pas standard (pour moi)  tu pourrai déjà le préciser.
Bonjour XZ19 , il s agit du produit tensoriel


GBZM @ 21-11-2020 à 09:14

Bonjour,

Tu fais comme si u(E)=G et v(F)= H. Rien ne dit ça dans l'énoncé.
  mais uest une application linéaire de E \rightarrow G et respectivement v appli lineaire de  F \rightarrow H non ?

Posté par
GBZM
re : rang et dimension du kernel 21-11-20 à 10:27

Bon, alors, avant de t'attaquer au produit tensoriel, je crois que tu devrais sérieusement revoir les bases de l'algèbre linéaire et réviser ce que veut dire u(E), l'image de E par u.

Posté par
XZ19
re : rang et dimension du kernel 21-11-20 à 11:10

Je m'en doutais un peu mais il faut revoir ton énoncé  il manque des infos, ça c'est certain

Posté par
Amadeus27
re : rang et dimension du kernel 21-11-20 à 20:30

J'ai absolument écrit toute les donnés de l'enoncé sauf la phrase montrer que u,v injectif implique u\otimes v injectif , mais ceci est facilement demontrable car le produit tensoriel est généré par des tensors simples il faut montrer leur appartenance a l'image ,

et oui mon dieu désolé u(E) est dans une partie de G pas tout G mais on aurait pu appelé cet ensemble G'=\Im F de dim = n non ?

Posté par
Amadeus27
re : rang et dimension du kernel 21-11-20 à 20:31

Ca a été mal écris mais , u(E) = Im(u) = G' ? ou dim(G') = n

Posté par
GBZM
re : rang et dimension du kernel 22-11-20 à 09:54

Ça ne me paraît pas très heureux.
La dimension de l'image de u, c'est le rang de u.
Essaie de faire un peu le ménage pour écrire des choses correctes.



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1460 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !