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rang et dimension du kernel

Posté par
Amadeus27 20-11-20 à 21:19

bonjour a tous ,  j'ai un exercice laissé sans correction et j'aimerai bien le faire et donc savoir si ce que j'ai fais a l'air correct ou non. Voici l'enoncé :

Soit E,F,G,H espace vectoriels de dimension finie.
Soit u \in \mathcal L(E,G) et v \in \mathcal L(F,H) tel que \mathcal L(E,G) est l'ensemble des applications linéaires de E \rightarrow G
On a que l'image de u\otimes v \in \mathcal L(E\otimes F,G\otimes H) et est  u(E)\otimes v(F)
Trouver le Rg(u\otimes v), en utilisant la dimension des espaces trouver aussi la dimension du noyau de u\otimes v

Voici ce que j'ai fais :  on sait que les espaces sont de dimensions finis donc :

\dim(u(E)) = n = \dim(G) \; et \; \dim(v(E))= n' =\dim(H) \; , \dim(E)=k \; \dim(F)=k'
On a donc que :
\dim $(($u\otimes v)(E \otimes F) = \dim (u(E) \otimes v(F))= n n'=\dim (\Im(u\otimes v)) et donc Rang(u\otimes v)=nn'
\dim(E\otimes F)= kk' , Grace au theoreme du rang on a que :
\dim(\Im(u\otimes v)) \;- \dim(E\otimes F) =\dim(\ker(u\otimes v)
\dim(\ker(u\otimes v)= nn'-kk' et donc la dimension du noyau de u\otimes v

Voici quelques resultats tirés de mon cours utilisé ici sans justification :
(On sait que la dimension de l'image est equivalente au rang)
(Si E,F,G,H espaces vectoriels de dimension finie) Avec \dim(E)=m , \dim(F)=p alors :

\dim(E\otimes F)= mp , et il existe un isomorphisme tq
\mathcal L(E,G) \otimes \mathcal L(F,H) \simeq \mathcal L(E\otimes F,G\otimes H)



Voila ce que j'ai fais est ce que cela vous semble t il correct ?

Posté par
XZ19re : rang et dimension du kernel 21-11-20 à 08:56

Bonjour
L'énoncé n'est pas clair.  D'abord  la définition de \bigotimes  n'est pas standard (pour moi)  tu pourrai déjà le préciser.

Posté par
GBZMre : rang et dimension du kernel 21-11-20 à 09:14

Bonjour,

Tu fais comme si u(E)=G et v(F)= H. Rien ne dit ça dans l'énoncé.

Posté par
Amadeus27re : rang et dimension du kernel 21-11-20 à 10:07

XZ19 @ 21-11-2020 à 08:56

Bonjour
L'énoncé n'est pas clair.  D'abord  la définition de \bigotimes  n'est pas standard (pour moi)  tu pourrai déjà le préciser.
Bonjour XZ19 , il s agit du produit tensoriel


GBZM @ 21-11-2020 à 09:14

Bonjour,

Tu fais comme si u(E)=G et v(F)= H. Rien ne dit ça dans l'énoncé.
  mais uest une application linéaire de E \rightarrow G et respectivement v appli lineaire de F \rightarrow H non ?

Posté par
GBZMre : rang et dimension du kernel 21-11-20 à 10:27

Bon, alors, avant de t'attaquer au produit tensoriel, je crois que tu devrais sérieusement revoir les bases de l'algèbre linéaire et réviser ce que veut dire u(E), l'image de E par u.

Posté par
XZ19re : rang et dimension du kernel 21-11-20 à 11:10

Je m'en doutais un peu mais il faut revoir ton énoncé  il manque des infos, ça c'est certain

Posté par
Amadeus27re : rang et dimension du kernel 21-11-20 à 20:30

J'ai absolument écrit toute les donnés de l'enoncé sauf la phrase montrer que u,v injectif implique u\otimes v injectif , mais ceci est facilement demontrable car le produit tensoriel est généré par des tensors simples il faut montrer leur appartenance a l'image ,

et oui mon dieu désolé u(E) est dans une partie de G pas tout G mais on aurait pu appelé cet ensemble G'=\Im F de dim = n non ?

Posté par
Amadeus27re : rang et dimension du kernel 21-11-20 à 20:31

Ca a été mal écris mais , u(E) = Im(u) = G' ? ou dim(G') = n

Posté par
GBZMre : rang et dimension du kernel 22-11-20 à 09:54

Ça ne me paraît pas très heureux.
La dimension de l'image de u, c'est le rang de u.
Essaie de faire un peu le ménage pour écrire des choses correctes.


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