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Rang et produits de matrices (maths spe)
Bonjour à toutes et à tous !
Je suis élève en PSI et j'ai un exercice à rendre sur les matrices. Personne n'a réussi à aboutir à quelque chose dans cet exercice et nous ne voyons notre professeur que vendredi, date pour laquelle nous devons faire ce devoir.
Voilà l'énoncé :
Soient A 
M32(
) et B M23() telles que :
AB=
et soient u et v les applications linéaires respectivement associés à A et B dans les bases canoniques.
a. Déterminer le rang de AB ;
b. Déterminer les rangs de A et B ;
c. Montrer que v est surjective et u injective ;
d. Calculer (AB)2 ;
e. Déduire de d. le rang de BA ;
f. Montrer que v o u = Id2.
Pour la a. j'ai trouvé un rang de 2 en utilisant le pivot de Gauss.
La b. est LA question qui pose problème, car pas moyen de trouver le rang de B qui est utile pour la suite je pense (après il faudra que je vois comment exactement).
Malgré tout je trouve pour A un rang de 2, voilà mon raisonnement (désolé pour l'absence de rédaction mais j'utilise un téléphone portable, on fait plus pratique...)
Im(u o v) 
Im u
Donc dim (Im u) 
dim (Im u)
rg (AB) rg (A)
2 rg (A)
Or A M32() donc rg(A)2
donc rg(A) = 2.
Pour la c. j'arrive a trouver l'injectivité de u grâce à la formule du rang mais pour la surjectivité de v je pense que rg(B) est utile (indispensable même ?)
La d. donne (AB)[sup2][/sup] = AB.
Malheureusment je n'ai pas réussi la fin de l'exercice.
Pourriez-vous m'aider à trouver ce qui me manque ?
Un grand merci d'avance à vous.
Pima.
Rang(AB) = 3 donc w := u o v est bijective , donc v est injective (donc bijective) et u aussi .
Les matrices A et B sont donc chacune de rang 3 et BA aussi .
Vérufie l'énoncé (au moins pour la question f)
Merci pour votre reponse !
Je ne comprends pas comment vous trouvez un rang de 2 pour AB, car en faisant dans la matrice L1
L1+L3 puis L1L1+L2 et enfin L3L3+2L2 on obtient la matrice
qui estvde rang 2 il me semble.
pour ce qui est de l'énoncé j'ai recopié exactement celui qui nous a été donné, il ne contient pas d'erreur (sauf si notre prof a fait une coquille).
Bonjour,
Il y a une erreur dans les coefficients de la matrice AB:
elle a pour rang 3 et ne vérifie pas (AB)²=AB.
Pour résoudre l'exercice on utilise la propriété: rang(AB)rang(B) qui donne le rang de B.
De même, rang(AB)=rang(ABAB)rang(BA) donne le rang de BA.
Au temps pour moi ! J'ai effectivement recopié le sujt exactement mais j'ai oublié de prendre en compte une correction qui nous a été apportée par la suite, la matrice AB est :
AB=
(la coquille est sur la dernière ligne)
Je suis vraiment désolé ! 
Comment demontrez vous rg(AB) rg(B) ? Cette propriété ne fait pas partie de mon cours et je n'arrive pas à voir comment vous vous y prenez.
Merci encore pour votre réponse.
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