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Posté par
lyonnaisre : Recherche d'un technique de calcul ... 02-11-07 à 22:03

Bon alors maintenant I(1)

Posté par
lyonnaisre : Recherche d'un technique de calcul ... 02-11-07 à 22:07

Donc j'ai :

\Large{I_1=-\frac{1}{a}+\frac{2.(1+a^2)}{\pi.a.(1-a)^2}

Posté par
lyonnaisre : Recherche d'un technique de calcul ... 02-11-07 à 22:10

C'est bizarre cette histoire ...

Déjà rien que sur I(0), logiquement, j'aurais du obtenir 2/(1-a²)

(Si je veux que ça fasse pareil qu'avec l'autre méthode ...)

Posté par
kaiser Moderateurre : Recherche d'un technique de calcul ... 02-11-07 à 22:18

Normalement, il ne devrait pas y avoir de pi (le pi se simplifie grâce un autre qui vient lorsque tu intègre 1 entre 0 et pi).

Autre chose, au cas où: dans ton message ou tu présentes les formules de I0 et I1, ça ne serait pas plutôt 2/pi au lieu de 1/(2pi) ?


Pour ma part, je trouve \Large{\frac{2}{(1-a)^{2}}}

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Recherche d'un technique de calcul ... 02-11-07 à 22:22

En fait, tu as raison pour I0 : je pensais même trompé mais on a bien \Large{I_0=\frac{1}{1-a^2}}.

Revérifie bien les calculs.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Recherche d'un technique de calcul ... 02-11-07 à 22:24

grr j'ai encore oublié un 2 : on a \Large{I_0=\frac{2}{1-a^2}}

Kaiser

Posté par
lyonnaisre : Recherche d'un technique de calcul ... 02-11-07 à 22:25

Oui pour le message, j'ai remarqué après l'avoir écrit, c'est bien 2/pi * ...

Maintenant on a I(0) = 2/(1-a)²

Et :

\Large{I_1=\frac{2}{\pi}\Bigint_{0}^{\pi} \frac{cos(t)}{1-2a.cos(t)+a^2}dt = -\frac{1}{\pi.a}\Bigint_{0}^{\pi} \frac{-2a.cos(t)}{1-2a.cos(t)+a^2}dt = -\frac{1}{\pi.a}.[\pi-(1+a^2).\frac{\pi.I_0}{2}] = \frac{2}{(1-a)^2}

Donc Ok je suis d'accord avec toi ...

J'avais mis I(0) au lieu de mettre pi.I(0)/2

Posté par
lyonnaisre : Recherche d'un technique de calcul ... 02-11-07 à 22:26

Ah zut, le I_0 n'est pas bon ... La par contre, je ne vais pas trouver mon erreur ...

Posté par
kaiser Moderateurre : Recherche d'un technique de calcul ... 02-11-07 à 22:29

du coup, on s'est aussi gourré pour \Large{I_1}.

Avec la nouvelle valeur de I0, je trouve \Large{I_1=\frac{2a}{1-a^2}}

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Recherche d'un technique de calcul ... 02-11-07 à 22:31

on reprend :

après le changement de variable, on a :

\Large{I_0=\frac{4}{\pi}\Bigint_{0}^{+\infty}\frac{dt}{(a+1)^2t^2+(a-1)^2}}

OK ?

Kaiser

Posté par
lyonnaisre : Recherche d'un technique de calcul ... 02-11-07 à 22:33

Oui Ok jusque là

J'ai le même nouveau I(1) si jamais on trouve le bon I(0)

Posté par
kaiser Moderateurre : Recherche d'un technique de calcul ... 02-11-07 à 22:36

OK !

donc c'est égal à :

\Large{I_0=\frac{4}{\pi(a+1)^{2}}\Bigint_{0}^{+\infty}\frac{dt}{t^2+\(\frac{a-1}{a+1}\)^2}}


Enfin, on utilise le fait que si A > 0, alors une primitive de \Large{t\mapsto \frac{1}{t^2+A^2}} est \Large{t\mapsto \frac{1}{A}\arctan(\frac{1}{A})}.

Ici, on utilise ce résultat avec \Large{A=\frac{a-1}{a+1}}


Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Recherche d'un technique de calcul ... 02-11-07 à 22:37

euh pardon : \Large{A=\frac{1-a}{1+a}}

Kaiser

Posté par
lyonnaisre : Recherche d'un technique de calcul ... 02-11-07 à 22:38

Ah exact !! Pff j'ai fait une grosse erreur tu devineras jamais, j'ai appliqué la même formule mais en mettant 1 + qqch*t^2

Du coup craquage, il aurait fallut que je fasse un autre changement de variable dans ce cas, et j'aurais trouvé le même résultat ...

Posté par
kaiser Moderateurre : Recherche d'un technique de calcul ... 02-11-07 à 22:39

OK, je vois !

Kaiser

Posté par
lyonnaisre : Recherche d'un technique de calcul ... 02-11-07 à 22:40

Pour la formule, c'est :

\Large{t\mapsto \frac{1}{A}\arctan(\frac{t}{A})}

mais ça j'avais compris

Posté par
lyonnaisre : Recherche d'un technique de calcul ... 02-11-07 à 22:43

Bon ba du coup on a plus qu'a résoudre :

\Large{\{\lambda + \mu = \frac{2}{1-a^2} \\ \lambda.a + \mu.(\frac{1}{a}) = \frac{2a}{1-a^2}

D'où solution :

\Large{\{\lambda = \frac{2}{1-a^2} \\ \mu = 0

Et on a fini

Posté par
kaiser Moderateurre : Recherche d'un technique de calcul ... 02-11-07 à 22:45

oui bien sûr, le t est passé à la trappe.

eh oui, c'est fini.

Kaiser

Posté par
lyonnaisre : Recherche d'un technique de calcul ... 02-11-07 à 22:48

On obtient donc pour tout x dans IR :

\Large{\fbox{f(x)=\frac{1}{1-2a.cos(x)+a^2}=\frac{1}{1-a^2}.(1+2\sum_{n=1}^{+\infty} a^n.cos(nx))}

Juste pour le plaisir d'écrire la formule finale

Posté par
lyonnaisre : Recherche d'un technique de calcul ... 02-11-07 à 22:49

Merci énormement Kaiser

Belle exercice je trouve

Posté par
lyonnaisre : Recherche d'un technique de calcul ... 02-11-07 à 22:50

Bel exercice c'est mieux :D

Posté par
kaiser Moderateurre : Recherche d'un technique de calcul ... 02-11-07 à 22:54

Citation :
Merci énormement Kaiser


Mais je t'en prie !

Citation :
Belle exercice je trouve


Je trouve aussi !

Citation :
Bel exercice c'est mieux :D


effectivement !

Kaiser

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