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Niveau Maths sup
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Recherche d'un technique de calcul ...

Posté par
lyonnais 02-11-07 à 17:58

Bonjour à tous

On a vu en cours une technique pour développer en série de Fourier ( pour a dans ]-1,1[ ) :

Citation :
\Large{f(x) = \frac{1}{1-2a.cos(x)+a^2}


Pour cela, on a cherché un developpement en série triogonométrique et on a vérifié que les coefficients étaient bien les coefficients de fourier.

Citation :
J'ai entendu dire qu'il y avait une autre méthode pour développer en série de Fourier cette fonction. Est-ce que quelqu'un connait cette méthode ?


Merci

Posté par
kaiser Moderateurre : Recherche d'un technique de calcul ... 02-11-07 à 18:01

Re Romain

l'idée c'est que a x fixé, on a affaire à une fraction rationnelle en a, que l'on peut donc essayer de développer en série entière (donc décomposer en élément simples).

Kaiser

Posté par
lyonnaisre : Recherche d'un technique de calcul ... 02-11-07 à 18:09

Oui Kaiser, on a aussi fait cette méthode là (désolé je ne l'ai pas précisé)

On m'a dit qu'il existait une technique avec l'utilisation de suites récurentes d'ordre 2, mais je ne sais pas à quoi appliquer cela ... Je me demandais si quelqu'un avait déjà fait comme ça.

PS : je viens de voir que tu m'as répondu sur mon post d'hier, je vais voir ça ce soir, là je dois y aller. Merci en tout cas

Posté par
kaiser Moderateurre : Recherche d'un technique de calcul ... 02-11-07 à 18:15

OK, je regarde ça.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Recherche d'un technique de calcul ... 02-11-07 à 18:54

C'est bon, je pense avoir trouver : on veut calculer l'intégrale \Large{I_n=\frac{2}{\pi}\Bigint_{0}^{\pi}\frac{\cos(nt)}{1-2a\cos(t)+a^2}dt}

Donc, il faut essayer de trouver une relation de récurrence entre les termes de cette suite donc, on peut commencer par chercher une relation de récurrence entre les cos(nt) et là, normalement, ça devrait te faire penser à quelque chose !

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Recherche d'un technique de calcul ... 02-11-07 à 18:55

P.S : pour l'intégrale, j'ai déjà pris en compte la parité de la fonction.

Kaiser

Posté par
lyonnaisre : Recherche d'un technique de calcul ... 02-11-07 à 19:10

Cool merci Kaiser, je regarde

Posté par
lyonnaisre : Recherche d'un technique de calcul ... 02-11-07 à 19:14

On a bien une relation :

\Large{cos[(n+2)t] + cos[nt] = 2.cos[(n+1)t].cos(t)

Mais le cos(t) va géner lors de l'intégration, donc il va falloir changer l'écriture. Je regarde ...

Posté par
lyonnaisre : Recherche d'un technique de calcul ... 02-11-07 à 19:21

Citation :
Donc, il faut essayer de trouver une relation de récurrence entre les termes de cette suite donc, on peut commencer par chercher une relation de récurrence entre les cos(nt) et là, normalement, ça devrait te faire penser à quelque chose !

Si tu le dis :D

Ba ça resemble à ce que l'on avait hier, mais c'est pas pareil, on a du cos en haut et pas du sin

Je continu de chercher

Posté par
kaiser Moderateurre : Recherche d'un technique de calcul ... 02-11-07 à 19:21

oui, mais dans le dénominateur, il y a du cos(t) donc ...

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Recherche d'un technique de calcul ... 02-11-07 à 19:23

En disant cela, je me disais que ça aller te faire penser aux polynômes de Tchebychev. Si tu te souvenais de la relation de récurrence les liant, tu aurais eu la même relation de ton message de 19h14.

Kaiser

Posté par
lyonnaisre : Recherche d'un technique de calcul ... 02-11-07 à 19:23

Ah la vache !!!! Comment j'ai pu ne pas voir ça :D

Posté par
lyonnaisre : Recherche d'un technique de calcul ... 02-11-07 à 19:24

Oui, c'est comme ça que j'ai trouvé la relation d'ailleurs Je l'a connais par coeur maintenant !

Posté par
kaiser Moderateurre : Recherche d'un technique de calcul ... 02-11-07 à 19:24

OK !

Posté par
lyonnaisre : Recherche d'un technique de calcul ... 02-11-07 à 19:29

On a donc :

\Large{\frac{2}{\pi}\Bigint_{0}^{\pi}\frac{\cos((n+1)t).cos(t)}{1-2a\cos(t)+a^2}dt = -\frac{1}{\pi.a}\Bigint_{0}^{\pi}\frac{\cos((n+1)t).(-2a.cos(t))}{1-2a\cos(t)+a^2}dt = -\frac{1}{\pi.a}(\Bigint_{0}^{\pi} cos((n+1)t) dt -(1+a^2)}\Bigint_{0}^{\pi}\frac{\cos((n+1)t)}{1-2a\cos(t)+a^2}dt)

Posté par
kaiser Moderateurre : Recherche d'un technique de calcul ... 02-11-07 à 19:32

ça marche : ensuite, il y a au moins une simplification à faire.

autre chose : essaie de te débarrasser du cas a=0, avant tout.

Kaiser

Posté par
lyonnaisre : Recherche d'un technique de calcul ... 02-11-07 à 19:33

Donc la relation de résucrence serait :

\Large{I_{n+2}+I_{n} = \frac{1+a^2}{2a}.I_{n+1}

??

Posté par
lyonnaisre : Recherche d'un technique de calcul ... 02-11-07 à 19:34

Oui exact, le cas a = 0 :

f(x) = 1 c'est déjà le développement en série de Forier

Posté par
lyonnaisre : Recherche d'un technique de calcul ... 02-11-07 à 19:36

Fourier

Posté par
kaiser Moderateurre : Recherche d'un technique de calcul ... 02-11-07 à 19:36

oui, c'est bien cette relation.

Kaiser

Posté par
lyonnaisre : Recherche d'un technique de calcul ... 02-11-07 à 19:38

Et après on résout à la bourin ? ( avec discriminant ... )

Posté par
kaiser Moderateurre : Recherche d'un technique de calcul ... 02-11-07 à 19:39

j'en ai bien peur !

Kaiser

Posté par
lyonnaisre : Recherche d'un technique de calcul ... 02-11-07 à 19:39

ça va pas être super beau

Posté par
kaiser Moderateurre : Recherche d'un technique de calcul ... 02-11-07 à 19:45

je dirais même plus : ça risque d'être moche !

Cela dit, ça m'étonne un peu : avec la méthode du développement en série entière, je n'ai pas l'impression que l'on ait une forme si indigeste (surtout, que là, il va falloir distinguer les cas selon les valeurs de a car le signe du discriminant va changer)

Kaiser

Posté par
lyonnaisre : Recherche d'un technique de calcul ... 02-11-07 à 19:49

Bah oui c'est ce que je suis en train de me dire !

Hum pourtant c'est bien ça la relation je crois ...

Avec l'autre méthode, on trouve :

\Large{I_n = \frac{2.a^n}{1-a^2}

...

Posté par
lyonnaisre : Recherche d'un technique de calcul ... 02-11-07 à 19:56

Je regarde quand même, parce que ça doit bien se simplifier à un endroit ...

Posté par
lyonnaisre : Recherche d'un technique de calcul ... 02-11-07 à 20:12

ça me ferait pour le signe du discriminant :

positif sur ]-1,rac(3)-2] U [2-rac(3),1[

négatif sur ]rac(3)-2,2-rac(3)[

Je trouve ça super bizarre ...

Posté par
kaiser Moderateurre : Recherche d'un technique de calcul ... 02-11-07 à 20:16

oui, très bizarre : quelque chose nous a échappés, mais alors quoi ...

Kaiser

Posté par
lyonnaisre : Recherche d'un technique de calcul ... 02-11-07 à 20:19

Oh attend, il y a déjà une faute !!

Et c'est LA faute !

J'ai pas tenu compte du 2 dans :

\Large{cos[(n+2)t] + cos[nt] = 2.cos[(n+1)t].cos(t)

Posté par
lyonnaisre : Recherche d'un technique de calcul ... 02-11-07 à 20:20

L'equation de récurence est donc :

\Large{I_{n+2}+I_{n} = \frac{1+a^2}{a}.I_{n+1}

Et là ça va être beaucoup mieux

Posté par
lyonnaisre : Recherche d'un technique de calcul ... 02-11-07 à 20:22

Et la si l'on considère :

\Large{a.I_{n+2}-(1+a^2).I_{n+1}+a.I_{n}=0

On a  \Large{\Delta = (1-a^2)^2

ça prend forme :D

Posté par
kaiser Moderateurre : Recherche d'un technique de calcul ... 02-11-07 à 20:23

oui, là c'est tout de suite beaucoup mieux !

Je te laisse pour aller diner !

Kaiser

Posté par
lyonnaisre : Recherche d'un technique de calcul ... 02-11-07 à 20:24

Ok merci

Et désolé pour l'erreur

Bon apétit

Posté par
lyonnaisre : Recherche d'un technique de calcul ... 02-11-07 à 21:10

Du coup, on a :

\Large{I_n=\lambda a^n + \mu (\frac{1}{a})^n

Il nous faut donc pour trouver \lambda et \mu calculer I0 et I1 avec :

\Large{I_0=\frac{1}{2\pi}\Bigint_{0}^{\pi} \frac{dt}{1-2a.cos(t)+a^2}

et

\Large{I_1=\frac{1}{2\pi}\Bigint_{0}^{\pi} \frac{cos(t)}{1-2a.cos(t)+a^2}dt

En gros grâce à la même astuce que tout à l'heure, il suffit qu'on arrive à calculer I0 ...

( Normalement d'après l'autre méthode on doit avoir \mu = 0 )

Posté par
kaiser Moderateurre : Recherche d'un technique de calcul ... 02-11-07 à 21:24

Oui.
Pour calculer la première intégrale, la chose la plus "simple" que je vois est de passer par un changement de variable.


Kaiser

Posté par
lyonnaisre : Recherche d'un technique de calcul ... 02-11-07 à 21:31

J'essai justement. J'ai tenté le changement de variable :

u = tan(t/2)

J'arrive à :

2(1+u).du/[(1+u²)[(1-a)²+u(1+a)²]

Et là j'allais m'attaquer à la décomposition en éléments simples, mais ça va être encore beurk je pense :D

Dois y avoir mieux en changement de variable ...

(Je vais coucher ma soeur je reviens)

Posté par
kaiser Moderateurre : Recherche d'un technique de calcul ... 02-11-07 à 21:38

je crois que tu as oublié des carrés (en fait, je ne pense pas qu'il y ait de u tout court qui apparaissent).

(à tout de suite).

Kaiser

Posté par
lyonnaisre : Recherche d'un technique de calcul ... 02-11-07 à 21:41

Je suis de retour, mais je ne comprends pas, je te tappe mon raisonnement ...

Posté par
kaiser Moderateurre : Recherche d'un technique de calcul ... 02-11-07 à 21:41

en tous cas, pour ma part, je ne rencontre pas de problème de calcul moche.

Kaiser

Posté par
lyonnaisre : Recherche d'un technique de calcul ... 02-11-07 à 21:46

On a :

cos(t) = (1-u)/(1+u)

1-2a.cos(t)+a² = 1-2a.(1-u)/(1+u)+a² = (1/(1+u)).[(a²+1).(1+u)-2a(1-u)] = (1/(1+u)).[u(1+a)²+(1-a)²]

avec  dt = 2/(1+u²) du

D'où :

dt/(1-2a.cos(t)+a²) = [2(1+u)/(1+u²)].du/[u(1+a)²+(1-a)²]

sauf erreurs ...

Posté par
lyonnaisre : Recherche d'un technique de calcul ... 02-11-07 à 21:47

Citation :
en tous cas, pour ma part, je ne rencontre pas de problème de calcul moche.


Tu vas pouvoir me dire où j'ai faux comme ça :D

Posté par
kaiser Moderateurre : Recherche d'un technique de calcul ... 02-11-07 à 21:47

Il me semble que l'on a plutôt \Large{\cos(t)=\frac{1-u^2}{1+u^2}}

Kaiser

Posté par
lyonnaisre : Recherche d'un technique de calcul ... 02-11-07 à 21:50

Oh purée grr

Tu m'étonnes que j'ai faux, je n'ai pas reporté les ² que j'avais mis sur la première ligne de ma feuille

Je reprends ...

Posté par
lyonnaisre : Recherche d'un technique de calcul ... 02-11-07 à 21:54

On a donc :

2.du/[(a²+1)(1+u²) - 2a.(1-u)]

On met sous forme canonique et on intègre en arctan ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Recherche d'un technique de calcul ... 02-11-07 à 21:55

au dénominateur aussi, tu as oublié de remplacer u par u².

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Recherche d'un technique de calcul ... 02-11-07 à 21:56

Sinon, tu n'as pas besoin de mettre sous la forme canonique : ça le sera déjà.

Kaiser

Posté par
lyonnaisre : Recherche d'un technique de calcul ... 02-11-07 à 21:57

Exact ... (que de fautes!!!)

Posté par
kaiser Moderateurre : Recherche d'un technique de calcul ... 02-11-07 à 21:58

ça arrive de faire des erreurs !

Kaiser

Posté par
lyonnaisre : Recherche d'un technique de calcul ... 02-11-07 à 22:00

J'obtiens donc :

I(0) = 2/(1-a)²

Posté par
kaiser Moderateurre : Recherche d'un technique de calcul ... 02-11-07 à 22:01

oui

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