Entre -2.54 et 2.54, la fonction est décroissante. Il y a une racine dans cet intervalle, mais tu ne sais pas si cette racine est avant 0, ou après.

Tu peux calculer f(0) ... et ça répond à cette question. Et je pense que ça nous donne un gros indice pour répondre à la question suivante, même si je n'ai pas fait les calculs.

Oui je comprends bien...
f(0)=56 si la fonction est décroissante pour qu'on puisse avoir f(x)=0 il faut aller à gauche de 0. Donc cette solution est négative ..Merci !

Je ne vois pas comment cela nous aide dans la question suivante...

Non ! Plutôt à droite de zéro l( la fonction est décroissante.) La solution est positive

Le problème est difficile.
Tu pourrais consulter le sujet "racines d'une équation" du 01-10-18.

Ouais ... Je viens de consulter ! La discussion était tellement serrée.

Je pense que je vais passé sur l'exercice, vu qu'il n'y a pas de solutions... Merci  !

Bonsoir,
Je donne le lien vers l'autre sujet : racines d'une equation

Une remarque :
Une fois démontré qu'il y a une solution négative u et deux solutions positives v et w, on sait que les produits uv et uw sont différents de 1.

Cet exercice vient après quel cours ?  Il y a peut-être un ou 2 indices à trouver par là.
Sinon, une piste.

Déjà, notre polynôme a 3 racines, dont une négative. On nous dit que le produit de 2 des racines vaut 1, donc on parle des 2 racines positives, pas de la racine négative.

On nous demande de prouver que le produit des 2 racines positives vaut 1. Si on arrive à prouver que dès que x est positif , bingo, c'est fait.

Et donc calculer , et faire un changement de variable

Si on arrive à prouver que ce truc est positif ou nul dès que est positif ... et si en plus on trouve pour quelle valeur de y ce truc s'annule, on aura en plus la réponse à la question suivante, on aura la somme des 2 racines positives.  Et dans la foulée, la réponse à toutes les questions de l'exercice.

Il y a une résolution possible.
J'essayerai de donner la piste demain.

Je n'avais pas vu ton message ty59847.
Tu sembles donner une autre piste que celle du vieux sujet à laquelle je pensais.
Je vous laisse continuer dans cette direction.

Sinon, si ces calculs n'aboutissent pas, on va être débrouillard.
On utilise un tableur ou une calculatrice quelconque.
On cherche par tâtonnement les 2 racines, pas forcément besoin d'avoir une valeur précise.
On constate qu'effectivement, le produit a l'air de donner 1. Et on calcule la somme. Ca a l'air de donner un entier, belle coïncidence !
Connaissant la somme et le produit de ces 2 racines, elles sont donc les 2 racines de l'équation   

Et ensuite, on peut vérifier que ces 2 nombres sont bien les 2 racines positives de l'équation initiale.

L'exercice est lié à "Limite et continuité"

En étant débrouillard, on a:

Par balayage sur ]0; 2,54[ on trouve a₁≈0,27 et sur ]2,54; +l'infini[ on a a₂≈3,73.
Et on a₁.a₂≈1

De là, on peut se permettre décrit a₁+a₂=4 ? ( on demande d'en déduire, est-ce une déduction là ?)

C'est la 2ème solution que je proposais....
Il faut être très prudent dans la rédaction, quelque chose du genre :
Il semblerait que les 2 racines positives de cette équation vérifient et
Et donc et seraient les 2 racines de l'équation
Calculons les 2 racines de cette équation



Là tu peux calculer ... et tu constates qu'effectivement, ça donne 0.
Et pareil pour

En gros, on trouve et par hasard, et on vérifie ensuite que le hasard marche plutôt bien.

Bonsoir,

Autre façon, qui , hélas, suppose aussi (comme le 01-10-18) "le problème résolu", calculer le PGCD des 2 polynômes

   et

Mais ce n'est peut-être pas au programme de Terminale.

Je reprends une des pistes proposées dans l'autre sujet. Niveau terminale.
On va tenter de démontrer que le polynôme x⁵ - 209x + 56 peut se factoriser sous cette forme :(x²-Sx+1)(x³+ax²+bx+56) où S, a et b sont des réels.
(On ne suppose pas la conclusion, on l'a utilisée pour trouver cette démarche)
On développe donc (x²-Sx+1)(x³+ax²+bx+56) et on identifie les coefficients avec ceux de x⁵ - 209x + 56 .
On obtient un système de 4 équations à 3 inconnues S, a, b.
On trouve S = a = 4 et b = 15.

Cette démarche semble être celle qui est attendue car on trouve S avant de trouver les deux solutions.

Effectivement, c'est beaucoup plus propre.

J'ai pris des précautions

La solution proposée par Sylvieg est beaucoup plus propre.
Tu as à ta disposition MBappé et Bénabar, pour composer une équipe de foot... et tu es en train de choisir Bénabar !

Oui je l'ai bien constaté, c'est la méthode de Sylvieg que j'ai suivi... Mais d'abord j'ai cherché les valeurs approximatives des zéros pour montrer que deux des solutions de f ont pour produit 1...
J'utilise maintenant ce résultat pour venir à la méthode de Sylvieg... (x²-Sx+1)(x³+ax²+bx+56)=...
Quand on fait on a S=a=4 et b=15
Voilà !

Bonsoir,
Rendons à César ce qui est à César :
C'est la méthode de larrech dans l'autre sujet que j'ai donnée ici

Salut
Une demo rapide dans ces réponses

J'aime bien la n°2,

Toutes commencent peu ou prou par " Si le polynôme   a 2 racines inverses l'une de l'autre, alors..." selon la bonne vieille méthode hypothético-déductive.

Je comprends bien la n°2...

(x₁x₂)⁵=...

C'est tellement bien vu

Bonjour,
Oui, séduisante la 2 !
Mais après réflexion, mon enthousiasme est retombé car l'énoncé n'est pas le même :
"x⁵−209x+56 admits two roots whose product is 1, find them."
Ma compréhension de l'anglais est limitée mais je vois quand même une différence avec