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Rectangle et nombres complexes

Posté par
Iviod 30-10-16 à 17:05

Bonsoir,

En travaillant des exercices sur les nombres complexes en géométrie , je me suis trouvé bloqué en deux questions qui se ressemblent un petit peu :
1)Soient a,b,c trois nombres complexes de module 1 tels que a+b+c=0 . Montrer que a,b,c sont les affixes des sommets d'un triangle équilatéral.
2)On considère 4 nombres complexes a,b,c,d de module 1. On suppose qu'ils sont deux à deux distincts et que a+b+c+d=0. Montrer que l'on peut se ramener au cas a=e^{-i\alpha }
, b=e^{-i\theta } , c=e^{i\theta } et d=e^{i\alpha } avec ]0,[ et ],[ et en déduire que a,b,c,d sont les sommets d'un rectangle.

Pour la première question j'ai essayé d'écrire : a=e^{i\alpha } je trouve alors: be^{-i\alpha }+ce^{-i\alpha }=-1 , mais après je ne sais pas comment continuer . Peut être que la démarche est fausse. J'ai essayé la même chose pour la deuxième question mais sa ne conduit à rien.

J'espère que vous puissiez m'aider à résoudre ce genre d'exercice .

Merci d'avance !

Posté par
Flewerre : Rectangle et nombres complexes 30-10-16 à 17:33

Salut,

Tu peux essayer de montrer que a,b et c sont des racines cubiques de l'unité.
Pour ce faire, essaie de calculer ab+bc+ca, et utilises les relations racines coefficients d'un polynôme de degré 3.

Posté par
Flewerre : Rectangle et nombres complexes 30-10-16 à 17:33

utilise* pardon.

Posté par
luzakre : Rectangle et nombres complexes 30-10-16 à 17:54

Bonsoir !
Pour le 1) tu poses a=e^{i\alpha},\;b=e^{i(\alpha+\beta)},\;c=e^{i(\alpha+\gamma)}; et tu écris les parties réelles et imaginaires de 0=1+\dfrac ba+\dfrac ca

Pour le 2) tu suis les indications de l'énoncé. Pour tout t\in\R,\;(a+b+c+d)e^{it}=0 et tu cherches t pour avoir ae^{it} conjugué de de^{it} (il suffit pour cela de prendre e^{2it}= ?)
Alors,(a+d)e^{it}\in\R donc (b+c)e^{it}\in\R et tu en déduis be^{it} conjugué de ce^{it}.

En posant maintenant ae^{it}=e^{-i\alpha},\;be^{it}=e^{-i\theta} tu trouves les conditions de l'énoncé et e^{-i\alpha}+e^{-i\theta}+e^{i\theta}+e^{i\alpha}=0

Posté par
carpediemre : Rectangle et nombres complexes 30-10-16 à 18:20

salut

une remarque : puisque les complexes a, b et c sont de module 1, ils ne sont pas nuls et diviser par l'un deux signifie multiplier par son conjugué ...

...

Posté par
Iviodre : Rectangle et nombres complexes 31-10-16 à 20:55

Bonsoir,
Je tiens à vous remercier pour vos réponses. J'ai essayé d'appliquer ce que vous m'avez dit :
1) Le module de a est 1 donc il existe un de tq a=e^{i\alpha } et de même pour b , il existe un de R qu'on décomposera en + , on trouve b=e^{i(\alpha +\beta )} , et de même pour c on trouve c=e^{i(\alpha +\gamma )} . En remplaçant dans a+b+c=0 on trouve que 1+e^{i\gamma } + e^{i\beta } , en écrivant les e^i.. sous forme algébrique on trouve qu'ils sont forcéments conjugués, et on trouve en résolvant l'équation que {b=ja , c=j2a} ou {b=j2a , c=ja} et dans les deux cas on a un triangle équilatéral.
Flewer pour votre indication je n'ai su l'appliquer même après réflexion :/

2) ae^{it } est conjugué de de^{it }
Si t=(-arg(ad))/2 +k avec k dans .
Sinon après je ne vois pas pourquoi be^{it }
et ce^{it } seront conjugués , pouvez-vous m'expliquer s'il vous plait ? Aussi, après on a bien l'égalité reçue( celle qui est égale à 0 ) mais on a pas ]0,[ et ],[ , il faudrait montrer que -t-]-,-[

J'espère que vous pourrez m'aider encore une fois.

Merci d'avance.

Posté par
Flewerre : Rectangle et nombres complexes 31-10-16 à 21:32

Pour mon idée :
a+b+c=0 ==> 1/a+1/b+1/c=0 (en conjuguant car ils sont de module 1), d'où en multipliant par a puis b puis c : bc+ac+ab=0.
Si a, b et c sont racine d'un polynôme P (qu'on peut supposer unitaire) de degré 3, on a :
P=(X-a)(X-b)(X-c)=X^3-(a+b+c)X^2+(ab+bc+ac)X-abc=X^3-abc.

Notons k=abc, qui est de module 1 car a, b et c le sont.
Dans ce cas, a, b et c sont les racines cubiques de k, et donc sont de la forme t, jt et j^2t, et comme les racines cubiques de l'unité forment un triangle équilatéral, on en déduit le résultat.

Posté par
Iviodre : Rectangle et nombres complexes 31-10-16 à 21:53

Merci pour votre réponse. Mais votre idée se construit sur les deux suppositions ( a,b,c racines d'un polynome de degré 3 , et qu'il est unitaire ) mais si ils ne le sont pas ?

Sinon, pour ma démarche est-elle correcte s'il vous plait ?

Posté par
luzakre : Rectangle et nombres complexes 31-10-16 à 22:47

L'énoncé te suggère de te ramener au cas où a,d sont conjugués. En multipliant a,b,c,d par e^{it} (ce qui revient à faire une rotation) et en choisissant convenablement t tu obtiens a'=a\,e^{it},\;d'=d\,e^{it} conjugués.

Et tu démontres alors que b'=b\,e^{it},\;c'=c\,e^{it} sont aussi conjugués ce qui te permet d'avoir a'=e^{-i\alpha}=\bar{d'},\;b'=e^{-i\theta}=\bar{c'} : c'est ce que l'énoncé appelle "on peut se ramener à " en continuant avec les lettres du début sans mettre des "prime".

Posté par
luzakre : Rectangle et nombres complexes 31-10-16 à 22:55

Ton choix de t est bon mais inutile d'ajouter k\pi, on veut juste une valeur de t.

Remets a',\,b',\dots si tu préfères.
Ayant a+b+c+d=0 donc a+d=-(b+c), si a=\bar d,\;(a+d)\in\R donc (b+c)\in\R et comme b,c ont même module ils sont conjugués : prends la partie imaginaire après écriture sous forme trigonométrique si tu ne le vois pas directement ( tu pourrais aussi faire un dessin).

Posté par
Flewerre : Rectangle et nombres complexes 31-10-16 à 23:01

Aucune supposition à faire..
Je choisis le polynôme P tel qu'il ait a, b et c pour racines et qu'il soit unitaire de degré 3..
Je montre juste que a est racine cubique de abc, de même pour b et c..

Posté par
Iviodre : Rectangle et nombres complexes 31-10-16 à 23:20

Merci Flewer je vous ai compris maintenant ^_^

luzak merci à vous aussi, j'ai compris pourquoi ces nombres sont conjugués. Seulement , je ne comprend pas pourquoi avoir pris ae^{it}=e^{-i\alpha }
surtout qu'après on trouve d=e^{i(\alpha -t)} et a=e^{i(-\alpha -t)} donc a et d ne sont pas conjugués mais seulement ae^{it} et
de^{it} . J'ai peut-être mal compris . Pouvez-vous plus me clarifier s'il vous plait ?
Sinon, pour la première question j'ai essaye comme vous m'avez dit aussi, mais je ne sais pas si la rédaction est bonne.

Posté par
luzakre : Rectangle et nombres complexes 31-10-16 à 23:31

Non !
J'ai pris ae^{it}=e^{-i\alpha} parce que l'énoncé impose cette notation.
C'est de^{it} qui doit être le conjugué de ae^{it} : un peu la faute de l'énoncé disant "on peut se ramener à" alors qu'il veut changer de variables.

Reprends ce que j'ai mis avec les a',b',\dots si tu as du mal.

Posté par
luzakre : Rectangle et nombres complexes 31-10-16 à 23:38

Pour essayer d'être clair avec ce fichu énoncé :
a,b,c,d sont donnés et, si on n'a pas a,d conjugués dès le départ, on ne l'aura JAMAIS.
Ce sont de nouvelles variables qui remplacent a,b,c,d et, pour ces nouvelles variables, on veut la somme nulle ET la propriété de conjugaison pour deux d'entre elles (on pourrait d'ailleurs prendre les deux premières conjuguées plutôt que la première et la quatrième).

Ce qui est important c'est que les nouvelles variables déterminent un rectangle et  comme elles sont obtenues par produit avec un e^{it} bien choisi, ce rectangle est l'image par rotation de la figure initiale, qui du coup est aussi un rectangle.

Posté par
Iviodre : Rectangle et nombres complexes 31-10-16 à 23:39

Ah donc on ne conserve pas les même variables . Alors en effet, on a a' est le conjugué de d' et de même pour b' et c' . Il reste seulement à montrer l'appartenance de et . Je ne vois pas l'importance de prendre ces deux angles dans les intervalles demandés par contre :O

Posté par
Iviodre : Rectangle et nombres complexes 01-11-16 à 01:18

Une petite remarque : même si deux nombres complexes ont des imaginaires opposés et de module 1, ils peuvent ne pas être conjugués mais opposés ( on peut vérifié et.trouver le même module puisque le - disparait avec le carré )

Posté par
luzakre : Rectangle et nombres complexes 01-11-16 à 08:41

Bonjour !
Le choix des intervalles a son importance en imposant que  a',b' ont des parties imaginaires de même signe (cela permet de savoir dans quel ordre énoncer les sommets, mais ce n'est pas fondamental si on change l'ordre).

Tu as raison pour b',c' opposés. Mais alors on a aussi a'+d'=0 donc a'=i,\;d'=-i (ou l'inverse) et le quadrilatère a',b',c',d' (dans cet ordre) serait croisé ou aplati (au cas où b'=\pm i).
Tu as donc mis la main sur un cas particulier où le résultat est faux !

Posté par
Iviodre : Rectangle et nombres complexes 01-11-16 à 14:19

Je vois , merci pour votre réponse ^_^
Donc il faudra traiter le cas de b' et c' opposés .
Puis traiter le cas où ils sont conjugués. Je demande encore une fois votre aide dans ce cas là, car en ayant seulement t=(-arg(ad))/2 comme donnée sur des angles , comment on peut déduire l'appartenance des angles dans les intervalles demandés s'il vous plait ?

Je m'excuse pour ce dérangement :/

Merci d'avance

Posté par
luzakre : Rectangle et nombres complexes 01-11-16 à 15:47

Tu ne peux pas démontrer ces encadrements sur les angles. En imposant l'ordre 0<\theta<\alpha<\pi tu lis les sommets dans l'ordre a',b',c',d' en parcourant le cercle dans le sens direct et tu auras alors un quadrilatère  a',b',c',d' convexe qui est un rectangle, sans tomber dans le piège où b'+c'=0.

Mais l'énoncé est hypocrite en disant qu'on "peut se ramener à" à partir des hypothèses (deux à deux distincts et de somme nulle et de module 1) : en fait çà l'arrange de pouvoir le faire.
Les complexes (dans le même ordre : sens direct sur le cercle) vérifiant a+c=b+d=0 sont conformes à l'énoncé mais ne forment pas un rectangle et on ne peut pas se ramener aux conditions indiquées.

Bref tu dois "admettre qu'on peut se ramener à" et, à partir de là, tout se déroule bien !

Posté par
luzakre : Rectangle et nombres complexes 01-11-16 à 17:39

Oops ! J'suis bête !
En fait même quand  a+d=b+c=0 on a un rectangle : les points a,d forment un diamètre et il y a deux triangles rectangles...

Alors comment faire pour revenir à ce que veut l'énoncé. Faute de mieux je propose de supposer qu'au départ a,b,c,d sont dans cet ordre sur le cercle. Donc, en notant a=e^{ix},\;b=e^{iy},\;c=e^{iz},\;d=e^{it} on a x<y<z<t.

La condition a+b+c+d=0 montre que b est nécessairement sur le même demi-cercle que a donc x<y<x+\pi etc...
En effet, 0=1+e^{i(y-x)}+e^{i(z-x)}+e^{i(t-x)} et les parties imaginaires ne peuvent être de même signe.

En ajoutant u aux arguments, l'ordre sur le cercle pour a'=ae^{iu}, b'=be^{iu},c'=ce^{iu},d'=de^{iu} est conservé.
On peut choisir u pour avoir a'=\bar{d'} et il reste à montrer (en tenant compte de l'ordre sur x,y,z,t) que b'=\bar{d'} (le cas où ils sont opposés est ici exclu grâce aux inégalités x<y<x+\pi) .

En ajoutant une constante à u on ne change plus rien sauf la possibilité 0<\theta<\alpha<\pi.

Posté par
Iviodre : Rectangle et nombres complexes 02-11-16 à 00:33

Je vois.
Merci enormément pour vos réponses,votre patience ainsi que le temps que vous m'avez accordé .

Merci encore !


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