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récurrence

Posté par
Pechor 22-09-20 à 19:11

Bonsoir,

J'aurais besoin d'aide pour ma récurrence s'il vous plaît, j'ai essayé énormément de chose mais je n'y parviens pas.... si vous avez un indice ou une technique qui me permettrais d'arriver au résultat,

la récurrence en question:   montrer que pour tout entier n non nul  ,(\frac{2n}{3}+\frac{1}{3})\sqrt{n} \leq \sum_{1}^{n}{\sqrt{k}}\leq (\frac{2n}{3}+\frac{1}{2})\sqrt{n}

Posté par
carpediemre : récurrence 22-09-20 à 19:14

salut

Citation :
j'ai essayé énormément de chose mais je n'y parviens pas
v montre ...

parce que le plus naïvement : \sum1^{n + 1} \sqrt k = \sum_1^n \sqrt k + ...

Posté par
carpediemre : récurrence 22-09-20 à 19:14

carpediem @ 22-09-2020 à 19:14

salut

Citation :
j'ai essayé énormément de chose mais je n'y parviens pas
v montre ...

parce que le plus naïvement : \sum_1^{n + 1} \sqrt k = \sum_1^n \sqrt k + ...

Posté par
Pechorre : récurrence 22-09-20 à 20:10

oui je sais on fait + \sqrt{n+1} mais ce qui me dérange le plus c'est de faire apparaître le \sqrt{n+1} de chaques cotés de l'inégalité , ça me donne,

\frac{n+1}{\sqrt{n}}+\sqrt{n+1}(\frac{2n}{3}+\frac{1}{3})\leq \frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}}\sum_{1}^{n+1}{\sqrt{k}} +\leq \frac{n+1}{\sqrt{n}}+\sqrt{n+1}(\frac{2n}{3}+\frac{1}{2})


après ça j'ajoute \frac{2}{3}(\sqrt{n+1})
des deux cotés ce qui me donne, \frac{n+1}{\sqrt{n}}+\sqrt{n+1}(\frac{2n+2}{3}+\frac{1}{3})\leq \frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}}\sum_{1}^{n+1}{\sqrt{k}} + \frac{2}{3}\sqrt{n+1}\leq \frac{n+1}{\sqrt{n}}+\sqrt{n+1}(\frac{2n+2}{3}+\frac{1}{2})


et la je bloque...

Posté par
carpediemre : récurrence 22-09-20 à 20:21

quand on a du mal avec les calculs pourquoi ne pas se simplifier la vie ?

je note s(n) la somme

pour montrer que f(n)/3 < s(n) < g(n)/3 il suffit de montrer que f(n) < 3s(n) < g(n)

donc on en arrive à : (2n + 1)\sqrt n + 3 \sqrt {n + 1} \le 3s(n + 1) \le (2n + 3/2) \sqrt n + 3\sqrt {n + 1}

il ne reste plus qu'à comparer :

le membre de gauche avec [2(n + 1) + 1] \sqrt {n + 1}

le membre de droite avec [2(n + 1) + 3/2] \sqrt {n + 1}

Posté par
Pechorre : récurrence 22-09-20 à 21:10

merci beaucoup vous êtes trop fort!!!!

Posté par
carpediemre : récurrence 22-09-20 à 21:29

de rien

alors ça marche maintenant ?

Posté par
Pechorre : récurrence 22-09-20 à 22:10

Oui! c'était bien plus simple comme ça

Posté par
carpediemre : récurrence 22-09-20 à 22:48

ok !


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