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récurrence avec des complexes

Posté par
geronimo 652 15-09-09 à 15:20

bonjour à tous,
je rencontre un petit soucis avec une question d'un DM. le voici:

Soit n appartenant à |N*, a=e^{i\frac{\pi}{n}} et b=e^{i\frac{\pi}{n}}. On pose
p_n=(a+b)(a^2+b^2)...(a^n+b^n).

Montrer que p_n=(-1)^n\frac{1}{i^{n+1}}_{k=1}^n(-1-e^{i\frac{2k\pi}{n}})

je veux le montrer par récurennce.
pour n=1, ça marche on a (-1-e^{i\pi})=-2=p_1

ensuite soit n un entier naturel quelconque. si p_n=(-1)^n\frac{1}{i^{n+1}}_{k=1}^n(-1-e^{i\frac{2k\pi}{n}}) alors p_{n+1}=(-1)^n\frac{1}{i^{n+1}}_{k=1}^n(-1-e^{i\frac{2k\pi}{n}})(a^{n+1}+b^{n+1})

et après quoique je fasse je suis bloquer... Pouvez-vous m'aider svp...
merci d'avance

Posté par
Camélia Correcteurre : récurrence avec des complexes 15-09-09 à 15:21

Bonjour

a=b?

Posté par
geronimo 652re : récurrence avec des complexes 15-09-09 à 15:23

oops oublie d'un - dans b
b=e^{-i\frac{\pi}{n}}je me suis concentré à l'écrire en latex, dsl...

Posté par
Camélia Correcteurre : récurrence avec des complexes 15-09-09 à 15:38

Bon, ils sont conjugués... ta récurrence m'a l'air boiteuse, si on change n, a et b changent aussi... ce n'est pas vrai que p_{n+1}=p_n(a^{n+1}+b^{n+1}).

Bon, je ne l'ai pas fait, mais je commencerais par a^k+b^k=2\cos(k\pi/n)

Posté par
geronimo 652re : récurrence avec des complexes 15-09-09 à 15:42

oui d'accord...

je vais avoir p_n=2^n[cos( \frac{\pi}{n})(cos (\frac{2\pi}{n}))...(cos\pi)]

Posté par
Camélia Correcteurre : récurrence avec des complexes 15-09-09 à 15:45

Ensuite il faut exprimer 1+e^{2ik\pi/n} sous forme module, argument! On verra bien...

Posté par
geronimo 652re : récurrence avec des complexes 15-09-09 à 15:47

donc arc moitié... ok, je calcule ça!

Posté par
geronimo 652re : récurrence avec des complexes 15-09-09 à 15:51

en fait j'ai 1+e^{i\frac{2k\pi}{n}}=e^{\frac{k\pi}{n}}cos(\frac{k\pi}{n})

mais là j'ai pas l'argument...

Posté par
Camélia Correcteurre : récurrence avec des complexes 15-09-09 à 15:55

Non, ce truc n'est pas réel...

Posté par
geronimo 652re : récurrence avec des complexes 15-09-09 à 15:59

j'ai l'impression de ne pas voir ce qu'il faut faire...

Posté par
Camélia Correcteurre : récurrence avec des complexes 15-09-09 à 16:01

1+e^{2ik\pi/n}=1+\cos(2k\pi/n)+i\sin(2k\pi/n)=2\cos^2(\pi/n)+2i\sin(k\pi/n)\cos(k\pi/n)=2\cos(k\pi/n)e^{ki\pi/n}

... sauf erreur et je ne suis pas sure que ça mène au résultat!


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