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Récurrence linéaire homogène d'ordre 2
Bonsoir,
Je suis complètement bloqués dans ces démonstrations 
Soit la relation (*) : avec
On a montré que si et
sont 2 suites vérifiant
et
alors
.
Proposition :
Si l'équation caractéristique possède 2 solutions distinctes et
, alors les suites complexes vérifiant la relation (*) sont les suites de terme général :
avec
La vérification que les suites proposées fonctionnent j'ai compris. Mais la réciproque me pose problème.
Je dois montrer que si une suite complexe vérifie (*) alors elle est de la forme .
Je ne comprends pas le début de la démonstration du livre :
Il suffit de montrer que pour , il existe une suite
de la forme annoncée tel que
et
.
On a et
On a donc :
Ce système de Cramer possède une unique solution car .
Je ne comprends pas c'est quoi cette suite et pourquoi on pose
et
.
Puis pourquoi on résout ce système ?
Ça fait 1 heure que je suis dessus j'ai mal à la tête 
La proposition d'avant dit que si il y a une solution alors elle est unique.
Alors il suffit de la trouver pour dire que c'est celle là.
Or on peut la trouver car c'est un système de Cramer donc tout va bien
Bonjour
On a montré que si
Voilà un résultat amusant.
Pour votre problème, c'est ultra méga mal rédigé, on ne comprend absolument rien.
La stratégie de la démo doit être d'utiliser le résultat établi que vous avez (mal) énoncé : il faut donc exhiber une suite w de la forme voulue (et alors elle vérifiera forcément la relation de récurrence à deux pas comme vous l'avez vérifié) et qui coïncide avec u sur les deux premiers termes, on aura alors u = w comme voulu.
Oui c'est mal rédigé cette démonstration pour ça que je n'y comprends rien.
Il faut montrer que si vérifie la relation (*) alors
Mais pourquoi on pose et
?
Tu as vu que :
On a montré que si
Soit u une suite vérifiant la relation de récurrence de premiers termes
Si tu trouves une suite
Ca prouvera alors que toutes les suites solutions sont de cette forme là.
Oublions le ça me perturbe.
Il faut prouver que si est unique donc que
et
sont uniques ?
On pose
Donc à fortiori et
En résolvant le système, on trouve en fonction des
?
Au fait c'est un très bel exo de raisonnement mathématique qu'on pourrait poser avant un passage en prépa. Dommage que tu aies maté la correction.
Tu as vu que :
On a montré que si
Soit u une suite vérifiant la relation de récurrence de premiers termes
Si tu trouves une suite
Ca prouvera alors que toutes les suites solutions sont de cette forme là.
Merci Lionel j'ai compris.
J'avais oublié que dans la relation (*) on a aussi les valeurs fixées pour
Au fait c'est un très bel exo de raisonnement mathématique qu'on pourrait poser avant un passage en prépa. Dommage que tu aies maté la correction.
Il est formateur au niveau du raisonnement ?
Une autre question :
Proposition : cas complexe
Si l'équation caractéristique possède 2 solutions distinctes et
, alors les suites complexes vérifiant la relation (*) sont les suites de terme général :
avec
Je dois en déduire la proposition dans le cas réel....
Proposition : cas complexe
Si l'équation caractéristique possède 2 solutions distinctes et
, alors les suites réelles vérifiant la relation (*) sont les suites de terme général :
avec
Pareil je ne comprends pas d'où sort le passage en vert.
Ce cas se déduit facilement du cas complexe. Il s'agit de montrer que la suite de terme général est à termes réelles si et seulement si
.
Le démontrer ne me pose pas de problème mais je ne comprends pas d'où ça sort.
Je fais le démonstration rapidement.
Si alors comme les racines sont réelles on en déduit que
.
Réciproquement si.Comme
, on trouve
et
d'où le résultat.
Proposition : cas complexe
Si l'équation caractéristique possède 2 solutions distinctes
Il ne manquerait pas un "deux solutions réelles..." dans ton énoncé ? Sans cette précision ton énoncé est faux !
Si j'ai oublié le "réelles".
Comment on utilise la proposition dans le cas complexe pour en déduire que les solutions sont réelles si et seulement si ?
Par ailleurs, le 1er cas je n'ai toujours pas compris l'histoire des et
et la résolution du système de CRAMER. Je ne comprends pas la méthode.
Il faut montrer que si vérifie l'équation
alors on a
Oui c'est l'énoncé. Et je pensais que tu avais compris hier soir.... on est repartis pour 150 messages
Tu as vu que :
On a montré que si
Soit u une suite vérifiant la relation de récurrence de premiers termes
Si tu trouves une suite
Ca prouvera alors que toutes les suites solutions sont de cette forme là.
Mais ce que je ne comprend pas c'est qu'on utilise jamais le fait que
On veut montrer que et
Alors qu'il partent de et
ça n'a aucun sens
En plus ils utilisent la relation alors en remplaçant pour
et
alors que c'est ce qu'il faut montrer
Faut dire qu'on met un peu la charrue avant les bœufs quand on ne veut pas utiliser qu'il y a un espace vectoriel de solutions.
@Ramanujan
Si deux suites vérifient la relation
toute combinaison linéaire
la vérifie aussi. Si cela ne te semble pas évident, tu le démontres, c'est fait en une ligne.
Comme les suites vérifient la relation
tu sais déjà que toute combinaison linéaire, disons
, la vérifie aussi.
Maintenant il te reste à calculer les coefficients pour que ce soit une suite donnée .
D'après la première question, il faut (les images de 0,1 doivent être les mêmes) et il suffit (ça c'est ta première question) que les coefficients vérifient les relations :
.
sont donc solutions d'un système de Cramer que tu peux expliciter.
Il est alors visible, quand sont réels qu'il en est de même de
: voilà pour le nécessaire.
Par ailleurs le choix de réels donnera bien une suite à valeurs réelles
.
"Maintenant il te reste à calculer les coefficients pour que ce soit une suite donnée u. "
Pas compris.
Je ne vois pas dans votre raisonnement où vous montrez l'implication :
Si vérifie (*) alors en posant
on a :
et
Vous n'utilisez jamais l'hypothèse de départ c'est-à-dire que vérifie (*) c'est ça que je ne comprends pas.
Bon.
Tu te donnes une suite qui vérifie (*). Fixée. Pas touche.
Tu VEUX montrer que est s'exprime sous la forme
avec pour rappel
et
solutions de l'équation
On pose avec
que l'on définira plus loin. On SAIT que
vérifie la relation (*) lorsque
et
sont choisies comme solutions de
. C'est la question précédente. On cherche alors
de sorte que
Ce qui te ramène à un système de 2 équations à 2 inconnues, dont les inconnues SONT .
Si le système a une unique solution, cela voudra dire que
1) u et w vérifient toutes les 2 la relation (*)
2)
3)
Conclusion en utilisant :
On a montré que si u et v sont 2 suites vérifiant (*) et u_0=v_0 et u_1=v_1 alors u=v.
u = w. C'est à dire que u s'écrit sous la forme
Bonjour à tous
désolée, mais il faut que cela s'arrête...comme il ne s'arrête pas tout seul, je l'arrête.
C'est se moquer complètement du monde de poster le même exo de deux côtés simultanément, et tout ça pour n'en tirer aucun profit.
Tout le monde dit que ce niveau ne lui est pas adapté...il est anormal de demander de l'aide toutes les 3 lignes d'une démonstration...c'est qu'on n'a pas les bases pour la comprendre.
Ramajuan va devoir comprendre qu'il n'est pas seul. Je crois qu'il a perdu tout sens de la réalité.
Tout le monde peut partir en WE 
d'autant plus qu'il est infoutu de recopier un texte correctement :
Si j'ai oublié le "réelles".
et
Limite suite complexe
et je me suis abstenu d'intervenir ici après avoir vu une dizaine de msg et
La vérification que les suites proposées fonctionnent j'ai compris. Mais la réciproque me pose problème.
De retour sur futura sciences après avoir posté sur ilemaths et maths-forum son énoncé... On pourra lui expliquer les exos 1000 fois de 1000 façons différentes il comprend rien de rien.
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