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Niveau Maths sup
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Reduction des endomorphismes

Posté par
bruno444
21-05-23 à 12:04

Bonjour,
J'ai quelques questions concernant un problème d'algèbre dont voici l'énoncé :
Soit \mathcal{E} = {   e_1, e_2 , e_3, e_4 }  la base canonique de E = \mathbb{R}^4,
et soit u \in \mathcal{L}(E) de matrice dans la base \mathcal{E},
A = \begin{pmatrix}4 & 2 & 0 & 0\\0 & 2 & 0 & 0\\-1 & -1 & 3 & -1\\-1 & -1 & -1 &3\end{pmatrix}


1,i) Trouver le polynôme caractéristique p(x) de u

p(x) = (4-x)(2-x)((3-x)^2-1)

1,ii) Vérifier que \lambda_1 = 2 et  \lambda_2 = 4 sont deux valeurs propres de u.

On voit facilement que  \lambda_1 et  \lambda_2 annule p(x)

2,i) Trouver une base de chaque sous-espace propre de u

E_1 = Ker(u - \lambda_1id_E)   et   E_2 = Ker(u - \lambda_2id_E)

Une base de E_1 est \begin{pmatrix} 1\\-1\\0\\0\end{pmatrix};\begin{pmatrix} 0\\0\\1\\1\end{pmatrix}
Une base de E_2 est \begin{pmatrix} 2\\0\\-1\\-1\end{pmatrix};\begin{pmatrix} 0\\0\\1\\-1\end{pmatrix}

Déjà, je ne sais pas si j'écris correctement les bases des sous-espaces propres

2,ii) En déduire que u est diagonalisable et donner une matrice inversible P telle que D = P^{-1} A P soit diagonale.

u est diagonalisable car E = E_1 \oplus E_2 et P est constitué des vecteurs propres de E_1 et E_2

2,iii) Déduire de ce qui précède que , si I est la matrice identité 4 x 4, alors la matrice (A - \lambda_1I)(A - \lambda_2I) = A^2 - 6A +8I est nulle.

Je ne vois pas comment justifier que  (A - \lambda_1I)(A - \lambda_2I) est nul

Quelqu'un?

2,iv) Déduire de (2,iii) l'inverse de A

A^2 - 6A + 8I = 0
donc (A^2 - 6A) / 8 = I
donc A^{-1} = (A - 6I)/8

Merci

Posté par
AitOuglif
re : Reduction des endomorphismes 21-05-23 à 13:20

Bonjour

2. iii
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Cayley-Hamilton

Posté par
carpediem
re : Reduction des endomorphismes 21-05-23 à 13:39

salut

il faudrait peut-être factoriser complètement p(x) (donc le troisième facteur (pour justifier qu'il n'y a pas d'autres valeur propres que 2 et 4 ...

(entre autres méthodes) si tu notes (u, v, w, t) la base formée par les quatre vecteurs propres et en prenant x = au + bv + cw + dt alors calculer (A - 2I)(A - 4I)x ... et montrer que tu obtiens le vecteur nul 0

autre méthode : D = P-1AP donc A = ... et remplacer dans (A - 2I)(A - 4I) en remarquant que I = PP-1

Posté par
bruno444
re : Reduction des endomorphismes 21-05-23 à 18:01

Merci Aitouglif,

donc d'après le théorème de Caylay-Hamilton, p(A) = 0

carpediem,

J'ai factorisé complètement p(x), ce qui donne p(x) = (4-x)^2 (2-x)^2
On voit qu'il n'y a pas d'autre valeur propre.

J'ai utilisé ta deuxième méthode pour justifier 2,iii

D = P^{-1}AP donc  A = PDP^{-1}

Ensuite on remplace dans (A - 2I)(A - 4I)
ce qui donne en multipliant par PP^{-1}:

(PDP^{-1} -2I)(PDP^{-1} - 4I)PP^{-1} = (D -2I)(D - 4I)
= D^2 - 6D +8I = 0

(On calcule facilement  D^2 - 6D +8I car D est diagonale)

Posté par
carpediem
re : Reduction des endomorphismes 21-05-23 à 21:02

j'aurai plutôt écrit :

(PDP^{-1} -2PP^{-1})(PDP^{-1} - 4PP^{-1})= P(D -2I)P^{-1}P(D - 4I)P^{-1} = (D - 2I)(D - 4I)

car les matrices diagonales commutent avec toutes les matrices ...

Posté par
GBZM
re : Reduction des endomorphismes 22-05-23 à 09:27

Bonjour,
"les matrices diagonales commutent avec toutes les matrices "
Attention ! C'est faux.

Posté par
carpediem
re : Reduction des endomorphismes 22-05-23 à 17:46

désolé oui c'est les matrices kI

mezalor quel argument permet de passer de  P(D -2I)(D - 4I)P^{-1} à (D - 2I)(D - 4I) ?

Posté par
GBZM
re : Reduction des endomorphismes 22-05-23 à 19:07

Tout simplement, puisque facilement (D-2I_4)(D-4I_4)=0, on en déduit (A-2I_4)(A-4I_4)=P(D-2I_4)(D-4I_4)P^{-1}=0.

Posté par
carpediem
re : Reduction des endomorphismes 22-05-23 à 20:26

ok c'est ce que je pensais avec ce résultat nul !

merci

Posté par
bruno444
re : Reduction des endomorphismes 23-05-23 à 02:25

Je n'arrive pas à tout faire dans la partie 3 de l'exercice :

3,i) Trouver une base de l'orthogonale de E_1, E_1^\bot

E_1^\bot = Vect<(1,1,0,0),(0,0,1,-1)>

3,ii) Trouver une base de E_2 \cap E_1^\bot

E_2 \cap E_1^\bot = Vect<(0,0,1,-1)>

3,iii) Déduire de 3,ii qu'il n'existe pas de base orthonormée diagonalisant u.

Comme E_2 \cap E_1^\bot différent de E_2, E_1 et E_2 ne sont pas orthogonaux donc on ne peux pas trouver de base orthonormée diagonalisant u

3,iv) Soit F = E_1 + (E_2 \cap E_1^\bot) . Justifier que dim(F) = 3
dim(E_1) = 2 
 \\ dim(E_2 \cap E_1^\bot) = 1
donc dim(F) = 3

3,v) Prouver que u(F) \subset F, puis que

v : F -> F, pour tout x \in F, v(x) = u(x) - 3x est une isométrie.

F est l'ensemble des combinaisons linéaires de vecteurs propres de u donc u(F) \subset F

Pour prouver que c'est une isométrie, je ne sais pas faire du tout.

Merci d'avance pour votre aide

Posté par
GBZM
re : Reduction des endomorphismes 23-05-23 à 12:57

Bonjour,

Pour le 3.iv il te manque un argument pour dire que la somme est directe.
Pour le 3.v tu peux écrire tout élément de F sous la forme x+y avec x\in E_1 et y\in E_1^\perp\cap E_2 (et ceci de manière unique).
Calcule alors v(x+y).

Posté par
bruno444
re : Reduction des endomorphismes 23-05-23 à 23:57

Bonjour,
Pour le 3,iv)
Il faut dire que E_1 \cap (E_2 \cap E_1^\bot) = \{0\}

Pour 3,v)

v(x+y) = u(x+y) -3(x+y)
 \\ = u(x) + u(y) - 3x - 3y (car somme directe)

 \\ = \lambda_1x + \lambda_2y - 3x -3y
 \\ = 2x + 4y -3x -3y
 \\ = -x + y

\lVert v(x+y) \rVert = \lVert -x +y \rVert
 \\ = \lVert x+y \rVert (Somme directe)

donc v(x) est une isométrie

Posté par
GBZM
re : Reduction des endomorphismes 24-05-23 à 09:36

Revois tes justifications, elles ne vont pas.
Il faut expliquer pourquoi on a somme directe dans le 3.iv : l'argument n'y est pas !
L'invocation de la somme directe n'a rien à faire la première fois dans le 3.v et est insuffisante la deuxième fois : il faut justifier sérieusement le \Vert -x+y\Vert=\Vert x+y\Vert.

Posté par
bruno444
re : Reduction des endomorphismes 24-05-23 à 13:00

Bonjour

3,iv)
E_1 et E_2 \cap E_1^\bot sont orthogonaux ?

3,v)
-x +y symétrique à x+y ?
la symétrie conserve les normes

Posté par
GBZM
re : Reduction des endomorphismes 24-05-23 à 14:41

Pour 3.iv, l'argument d'orthogonalité manquait : E_2\cap E_1^\perp est contenu dans l'orthogonal de E_1.
Et pour  3.v, il manque encore un argument : ce ne sont pas toutes les symétries qui préservent la norme euclidienne, mais uniquement les symétries .... (à compléter).

Posté par
bruno444
re : Reduction des endomorphismes 26-05-23 à 22:42

... les symétries orthogonales.

Les symétries obliques ne préservant pas la norme euclidienne



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