Bonjour à tous, j'aimerais avoir votre avis sur la rédaction principalement que j'ai faite de cet exercice, et aussi un petit coup de pouce pour la question 3^^. Merci d'avane.

Soient E un ensemble et une relation d'ordre totale sur E
1) Justifier l'existence de max{x;y} pour tout x, y E.

Soient x, y E. La relation d'ordre étant totale sur E, soit xy, soit yx.
Si xy, alors {x;y} est majoré par y, de plus y{x;y}, donc max{x;y} existe et est égal à y.
Le même raisonnement peut s'appliquer pour yx.

2) Montrer que le magam (E,max) est associatif.

Soient x, y et z E, tels que x y et yz.
Alors on a : max{max{x;y};z}=max{y;z}=z
et : max{x;max{y;z}}=max{x;z}=z car une relation totale est transitive.
Donc max{max{x;y};z}=max{x;max{y;z}}, par conséquent le magma (E,max) est associatif.

Montrer qu'il est commutatif.

Soient x, y E, tel que xy. Alors max{x;y}=y=max{y;x}, donc le magma (E,max)est commutatif.

3) Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que (E,max) possède un élément neutre.

Que la relation ne soit pas stricte ? Ce qui implique que l'on peut écrire max{x;x} car dans xx. Merci de me dire si c'est juste ou pas.