Bonjour,

ton énoncé est faux : en effet, on peut prouver qu'une matrice à coefficients dans un corps est trigonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé sur ce corps.

Or il est facile de trouver des matrices à coefficients dans R inversibles, et dont le polynôme caractéristique n'est pas scindé, par exemple .

scindé veut dire quoi exactement (mes cours de maths ne sont pas en francais)

Un polynôme est dit scindé si on peut l'écrire comme produit de facteurs de degrés inférieurs ou égaux à , comme ou par exemple.

Dans l'exemple que je t'ai donné, le polynôme caractéristique vaut P(X) = (X-1)^2+2 , et il n'admet pas de racine réelle, donc il n'est pas scindé sur \mathbb R.Par suite, cette matrice, qui est inversible, n'est pourtant pas équivalente (pour ta relation d'équivalence, on appelle cela semblable) à une matrice triangulaire supérieure.

AAAh oui d accord je vois merci :-p

Pardon, je n'ai pas tout latexifié: n'est pas scindé sur .

Tu es sûr(e) que n'est pas supposé algébriquement clos (c'est-à-dire que tout polynôme non constant à coefficients dans admet au moins une racine dans )?

Oui tu as raison K est supposé algébriquement clos.( j'arrive pas trop À voir comment on peut passer à une matrice triangulaire)

Ah ben ça change tout dans ce cas!! Mais c'est un théorème non complètement trivial ça!

Je ne pense pas qu'on te demande vraiment de le démontrer! A mon avis, on attend juste de toi que tu observes que la classe d'équivalence d'une matrice dans cette relation, c'est la classe de similitude de ta matrice;

or, d'après ton cours d'algèbre linéaire (enfin j'espère!), toute matrice à coefficients dans un corps algébriquement clos est trigonalisable, cqfd! Tu ne crois pas?

oui justement c'étais écris dans mon cours, mais je ne pensais pas que ca suffisait pour répondre à la question de l'exercice

Si si, je suis persuadé que l'essentiel de cet exercice porte sur la compréhension de cette relation d'équivalence!

Tu étudies en Amérique?

non en Allemagne

Ok! Pfiouw, ça doit être bien différent, le vocabulaire, en effet! A moins que tu ne sois bilingue?

:-p oui je suis bilingue..mais j'ai toujours eu mes cours en francais à l'école (sauf histoire et allemand) du coup les études en allemand faut s y habituer, mais bon heureusement qu'existe ce site comme ca je peux toujours comparer le vocabulaire

Oui, si tu comptes revenir étudier (ou travailler) en France un jour en tout cas! Il doit y avoir des forums de maths en allemand aussi, non?

Oui y'en a mais j'aime pas trop...et effectivement j'ai envie d'aller continuer mes études en France .
En tout cas merci beaucoup pour ton aide aujourd hui! à la prochaine ! j'aurais sûrement encore beaucoup de questions

Mais je t'en prie! Bonne soirée et à bientôt peut-être!