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Niveau Maths sup
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représentation des foemes linéaires

Posté par pyro (invité) 16-04-07 à 14:44

on considére f:E->E (E=R^3)
               (x,y,z)->(2x-y+3z,x+7z,6x+2y+3z)
calculer tr(f)(où tr est la trace d'une matrice carrée)

Posté par
lafol Moderateur
re : représentation des foemes linéaires 16-04-07 à 14:46

bonjour ?

Posté par pyro (invité)re : représentation des foemes linéaires 16-04-07 à 14:49

oui bonjours excusez moi pour ce petit désagrements
auriez vous l'amabilité de m'éclairer sur ma question je vous prie

Posté par
lafol Moderateur
re : représentation des foemes linéaires 16-04-07 à 14:53

Tu sais écrire la matrice de f ? tu n'auras plus qu'à additionner les termes de la diagonale ...

Posté par pyro (invité)re : représentation des foemes linéaires 16-04-07 à 14:57

je trouve 5 est ce correct?

Posté par
lafol Moderateur
re : représentation des foemes linéaires 16-04-07 à 14:59

OK !

Posté par pyro (invité)re : représentation des foemes linéaires 16-04-07 à 15:06

ok merci beaucoups mais j'ai une autre petite question qui m'embete pouvez vous m'aider!calculer tr(0L(E)) et tr(IdE) en fonction de n=dim(E)

Posté par
lafol Moderateur
re : représentation des foemes linéaires 16-04-07 à 15:07

La matrice de OL(E) ne contient que des 0, pas difficile d'additionner
Celle de IdE ne contient que des 1 sur la diagonale (il y en a n) et des 0 ailleurs (mais pour la trace, ailleurs, on s'en fiche )

Posté par pyro (invité)re : représentation des foemes linéaires 16-04-07 à 15:09

donc tout simplement tr(O)=0 et tr(Id)=n?

Posté par
lafol Moderateur
re : représentation des foemes linéaires 16-04-07 à 15:10

tout simplement !

Posté par pyro (invité)re : représentation des foemes linéaires 16-04-07 à 15:21

j'ai une deuxieme petite question qui me turlipine pouvez vous m'éclairer une fois je vous prie!

soit p un projecteur de E
soient(e1,...,er) une base de Im(p) et (f1,...,fq) une base de ker(p)
justifier que B=(e1,...,er,f1,...,fq) est une base de R^3 et expliciter MatB(p)
    

Posté par
lafol Moderateur
re : représentation des foemes linéaires 16-04-07 à 15:23

Sais-tu déjà que l'image et le noyau d'un projecteur sont supplémentaires ? je vais devoir quitter l'île, mais d'autres vont prendre la relève ...

Posté par pyro (invité)re : représentation des foemes linéaires 16-04-07 à 15:28

oui je connais cette propriété mais je ne vois pas trés bien comment l'exploiter

Posté par
perroquet
re : représentation des foemes linéaires 16-04-07 à 16:06

bonjour, pyro.

Puisque Im p et ker p sont supplémentaires, la réunion d'une base de Im p et d'une base de ker p est une base de E (ceci aussi, tu dois l'avoir dans ton cours).

Ensuite, il est facile de calculer p(f1)... p(fq). Pour calculer f(e1) .... f(er), il te suffira de remarquer que pour tout x de Im p, p(x)=x (si c'est dans ton cours) ou de le démontrer.

Posté par pyro (invité)re : représentation des foemes linéaires 16-04-07 à 16:17

ne faut 'il pa plutot calculer p(e1)...p(er)§?
je ne vois pas la simplicité de calculer p(f1)...p(fq)pouvez vous m'aider?

Posté par
perroquet
re : représentation des foemes linéaires 16-04-07 à 16:20

Oui, c'est bien p(e1) ... p(er) qu'il faut calculer.
Comme les f_i sont dans le noyau, p(f_i)=0

Posté par pyro (invité)re : représentation des foemes linéaires 16-04-07 à 16:26

doit ton trouver une matrice du genre (1,0,0...,0)
                                      (0,1,0,...0)
                                      ....
                                      (0,0,.....0)
(les lignes represente les colonne)

Posté par
lafol Moderateur
re : représentation des foemes linéaires 16-04-07 à 18:39

toutafé, comme dirait borneo !

Posté par pyro (invité)re : représentation des foemes linéaires 16-04-07 à 19:01

merci beaucoups de votre aide les amis!puije vous poser une derniere petite question??!
on considere une application linéaire f telle que rg(f)=1 et tr(f)=1.montrer que f est un projecteur(indication : on écrira la matrice de f dans une base réunion d'une base de ker(f) et d'une base d'un supplémentaire de ker(f))

je suis perdu sauvez moi :p

Posté par
lafol Moderateur
re : représentation des foemes linéaires 16-04-07 à 19:29

1) quelle sera la dim de Ker f si rg f=1 ?
2) à quoi ressemblera la matrice dans cette base, du coup ? elle sera constituée de beaucoup de 0, non ?

Posté par pyro (invité)re : représentation des foemes linéaires 17-04-07 à 12:17

la dimension de ker(f) est 2 d'apré la formule du rang
mais je ne vois pas comment écrire la matric dans cette base pouvez vous m'éclairer?

Posté par
lafol Moderateur
re : représentation des foemes linéaires 17-04-07 à 13:42

relis la dernière phrase que t'a écrit perroquet ...

Posté par
lafol Moderateur
re : représentation des foemes linéaires 17-04-07 à 13:44

et dans ta dernière question, E est de dimension 3 ? parce que sinon, la dimension de ton noyau n'est pas 2....

Posté par pyro (invité)re : représentation des foemes linéaires 17-04-07 à 13:47

oui E est bien de dimension 3 mais je ne vois pas ce que la phrase de perooquet apporte a la question

Posté par
lafol Moderateur
re : représentation des foemes linéaires 17-04-07 à 13:49

ça te permet de déterminer deux colonnes de ta matrice, dans une base constituée d'une base du noyau et d'un vecteur d'un supplémentaire du noyau ....

Posté par pyro (invité)re : représentation des foemes linéaires 17-04-07 à 14:05

on calcule p(f1)...p(fq)??je ne vois pas à quoi resemble cette matrice:s

Posté par
lafol Moderateur
re : représentation des foemes linéaires 17-04-07 à 14:26

tu es en dimension 3, donc ta base ne contient que 3 vecteurs : deux (u et v) de ker f et un (w) d'un supplémentaire de ker f
f(u)=f(v)=0 car u et v sont dans le noyau : les deux premières colonnes de la matrice seront donc .... à toi !

Posté par pyro (invité)re : représentation des foemes linéaires 17-04-07 à 14:34

les deux premieres colonnes seront donc (0.0.0)et (0.0.0)?et pour la troisieme,,

Posté par
lafol Moderateur
re : représentation des foemes linéaires 17-04-07 à 14:36

pour la troisième tu sais que la trace est 1, ça te donne déjà un de ses coeffs.
je te laisse, le devoir m'appelle loin de l'île ... d'autres aideurs t'aideront

Posté par
perroquet
re : représentation des foemes linéaires 17-04-07 à 14:48

Pas la peine de calculer les autres coefficients. La matrice M de p s'écrit donc:
\begin{pmatrix} 0 & 0 & a \\
 \\ 0 & 0 & b \\
 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}

Calcule M^2.

Posté par pyro (invité)re : représentation des foemes linéaires 17-04-07 à 15:07

certes mais à quoi sert donc de calculer M²??a fairep ron p?et si on trouve que cela fait p c'est donc un projecteur c cz?

Posté par
perroquet
re : représentation des foemes linéaires 17-04-07 à 15:10

Oui

Posté par pyro (invité)re : représentation des foemes linéaires 17-04-07 à 15:34

merci beaucoups de votre aide

Posté par
lafol Moderateur
re : représentation des foemes linéaires 17-04-07 à 16:42

merci perroquet d'avoir pris la relève en mon absence



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