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Niveau Licence Maths 1e ann
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Résidu

Posté par
mmemaths
01-05-17 à 14:01

Bonjour,

Je dois calculer le résidu en 0 de la fonction f(z)=\frac{1}{exp(\frac{1}{z})-1}

Je sais que 0 est une singularité essentielle : si l'on fait tendre z vers 0 par valeurs réelles négatives, f tend vers -1 ; si l'on fait tendre z vers 0 par valeurs réelles positives, |f| tend vers l'infini.

Pourriez-vous me dire comment calculer ce résidu ?

Je vous remercie d'avance pour vos réponses.

Posté par
Camélia Correcteur
re : Résidu 01-05-17 à 15:48

Bonjour

Développe en série de Laurent la fonction e^{1/z}-1, puis mets 1/z en facteur et regarde ce qui se passe en prenant l'inverse.

Posté par
jokass
re : Résidu 01-05-17 à 17:53

Salut,

je pense qu'ici il y a un piège est que le résidus vaut 0. Autrement dit la fonction est bien holomorphe sur un voisinage de 0.

En effet si tu pose: x=\frac{1}{z}, \exp (x)=1+x+... et donc \exp (x)-1=x+x^{2}+O(x^{2}) et donc \frac{1}{\exp (x)-1}=\frac{1}{x+x^{2}+O(x^{2})}
Et tu n'as pas de terme en x ce qui signifie que ta fonction n'a pas de partie singulière et donc qu'elle est holomorphe.

Posté par
etniopal
re : Résidu 01-05-17 à 18:02

C'est exactement ce que Camélia proposait de faire .

Posté par
verdurin
re : Résidu 01-05-17 à 18:06

Bonsoir.
Je crois aussi qu'il y a un piège :
la fonction zexp(1/z) n'est pas holomorphe au voisinage de zéro, et elle n'est pas développable en série de Laurent non plus.

On a une singularité essentielle.

Posté par
jokass
re : Résidu 01-05-17 à 18:15

Salut Verdurin,

sisi z donne exp(1/z) est développable en série de Laurent le résidu vaut d'ailleurs 1.

Etniopal, je sais que ça n'apporte rien de plus ce que j'ai fait, mais je trouve ça bizarre de trouver 0. Je ne comprend pas pourquoi la singularité disparaît et c'est pour ça que j'ai posté. Car si je me suis trompé j'aimerai savoir pourquoi ^^

Posté par
verdurin
re : Résidu 01-05-17 à 18:22

Salut jokass.

J'ai comme un doute.

Par exemple quelle est la limite de |exp(1/z)| en zéro ?

Posté par
etniopal
re : Résidu 01-05-17 à 18:39

Pour z   0 ,on a :   1/(exp(1/z) - 1) = z/1 + u(z)) où u(z) = 1 + 1/2z + 1/6z² +.....+ 1/(n+1)!zn + ......

La où ça coince c'est quand on dit que u(z)   0 quand z .

Posté par
etniopal
re : Résidu 01-05-17 à 18:40

z/(1 + u(z))

Posté par
etniopal
re : Résidu 01-05-17 à 18:46

Le résidu cherché est l'intégrale sur [0 , 2] de    t   eit/2(e-it - 1)

Posté par
jokass
re : Résidu 01-05-17 à 19:36

@Verdurin : Il me semble que c'est l'infini? Mais je ne vois pas en quoi cela bloque la convergence de la série de Laurent. Il y a une singularité essentiel en 0 , soit. Et alors? Sur la couronne 0<|z|<r avec r quelconque on a bien que exp(1/z) est holomorphe sur cette même couronne,  dès lors elle admet un développement en série de Laurent. (qui est exp(\frac{1}{z})=\sum{\frac{z^{-n}}{n!}})

Posté par
verdurin
re : Résidu 01-05-17 à 19:53

@ jokass
ta limite est fausse.
Si t est un réel strictement positif

\lim_{t\to 0}\exp(1/t)=+\infty
 \\ \lim_{t\to 0}\exp\bigl(1/(-t)\bigr)=0
 \\ \exp(1/it)=\exp(-i/t)=\cos(1/t)-i\sin(1/t)
 \\ \lim_{t\to 0}\lvert \exp(1/it)\rvert=1
et la dernière expression est dense sur le cercle trigonométrique quand t tend vers zéro.

Posté par
jokass
re : Résidu 01-05-17 à 20:03

Je ne vois toujours pas pourquoi exp(1/z) ne serait pas développable en série de Laurent en 0...

Posté par
etniopal
re : Résidu 01-05-17 à 20:18

z exp(1/z)  est développable en série de Laurent  convergente  dans la couronne * .

Posté par
jokass
re : Résidu 01-05-17 à 20:23

@Etniopal: tu trouves quoi pour le résidu de f ?

Posté par
verdurin
re : Résidu 01-05-17 à 20:42

jokass @ 01-05-2017 à 20:03

Je ne vois toujours pas pourquoi exp(1/z) ne serait pas développable en série de Laurent en 0...

parce que
\lim_{z\to 0}\lvert \exp(1/z)\rvert
n'existe pas, même dans \R\cup\{-\infty\,; +\infty\}

Posté par
verdurin
re : Résidu 01-05-17 à 20:49

etniopal @ 01-05-2017 à 20:18

z exp(1/z)  est développable en série de Laurent  convergente  dans la couronne * .

Plus précisément si z00 alors elle est développable en série entière sur la boule de rayon |z0|.

Posté par
verdurin
re : Résidu 01-05-17 à 20:50

Et de centre z0

Posté par
etniopal
re : Résidu 02-05-17 à 01:21

1.Si a   \{0}   le rayon de convergence de la série formelle n Dnf(a)Xn/n!  vaut  |a| et pour  |z| <  |a| on a :  
n Dnf(a)zn/n! = f(a + z) .

2. Je reprends  mon  f(z) = 1/(exp(1/z) - 1) = z/(1 + u(z)) où u(z) =   1/2z + 1/6z² +.....+ 1/(n+1)!zn + ......

Il existe un réel r > 0 tel que pour  |z| > r  on ait |u(z)| < 1  .

Par " substitution " on en déduit l' existence d' une suite n an   telle que , pour tout z vérifiant |z| > r ,  la série de terme général   an/zn ( n ) soit convergente de somme    1/(1 + u(z)) .
f est donc  DSL dans la " couronne " { z │|z| > r }.
Son dsl est de la forme z + a1 + a2/z + ...+an+1/zn +...

Le résidu de f en 0 est donc a2 .


  

Posté par
mmemaths
re : Résidu 02-05-17 à 13:17

Merci pour vos réponses.

En appliquant la méthode d'étniopal, je trouve que le résidu vaut \frac{1}{12}.

f n'est DSL que dans la "couronne" { z   │|z| > r }, c'est-à-dire qu'elle n'est pas DSL sur un voisinage épointé de 0.  
Le résidu est donc malgré tout défini ?

Posté par
etniopal
re : Résidu 02-05-17 à 14:57

Quelle est la définition du résidu ?



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