Bonjour,
Quitte à effectuer une translation tu peux supposer z0=0
Comme f'(0) est non nul, f est une diffemorphisme d'un petit voisinage de 0 dans un voisinage de f(0), tu peux donc prendre un petit disque D entourant f(0) et regarder l'intégrale
Tu peux ensuite comparer et

D'ailleurs il vaut mieux prendre D un petit disque entourant 0 et regarder qui est un petit voisinage entourant f(0).

Bonjour,

Pourquoi ne pas y aller bille en tête ? On écrit   avec fonction holomorphe au voisinage de ; le résidu de en est .
Et maintenant on remplace par (et bien sûr par . Et on va voir la dérivée de en qui va venir dans le jeu ...

Ah, mokassin avait répondu entre temps. Bon, ça fait une autre piste.

Bonjour à vous deux, et merci beaucoup. J'apprécie la simplicité de ta réponse GBZM et qui donne le résultat quasi-immédiatement, je me sens un peu débile pour le coup ; mais j'apprécie aussi celle de mokassin qui me refait travailler les difféomorphismes. J'ai donc trouvé :



Merci encore, et bonne soirée.

Avec plaisir. Des fois, les idées simplistes sont efficaces.

Au fait, tu as bien conclu sur ton autre exercice ?

Ah mince, désolé, j'ai oublié de revenir dessus... Oui j'ai réussi à finir : j'ai passé un peu de temps à me demander pourquoi, en appliquant le principe du maximum sur les couronnes, le maximum doit se situer à un moment ou un autre sur le bord inférieure de la dite couronne. Après ça (en comprenant que si ce max si situait toujours sur le bord supérieur, on remettait en cause l'holomorphie), il n'y avait plus aucun problème, il suffisait ensuite d'utiliser la densité dans C

    
Bonsoir !
    mon grain de sel :
    On se  ramène au cas    z ₀ = 0 =  f( z₀ ) .
Alors , pour z dans U , on a :  f(z) = z^p.F(z)   , g(z) = r/z + G(z)  où p   * , r * , F et G holomorphes  F(0) = c *
g o f = r/f(z) + G(f(z) =  r/az ^p-1 + H(z) où H est holomorphe .
Si p > 1  , 0 est un pôle de g o f d'ordre p-1 et son résidu y est r/a..
Si p = 1 , g o f se prolonge en une homomorphe (sur U)

****En fait ce que j'ai raconté ne vaut que dans un ouvert W  contenu dans U où f et  n'a pas de singularité  et  où  g o f n'a  que   0 comme singularité possible .
Et je ne vois pas pourquoi  j'ai écrit p-1  au lieu de p .
Enfin comme je n'avais pas lu que f'(z0) est non nulle , on n'a que le cas p = 1  donc un pôle d'ordre 1 pour g o f .

Tu es sûr de ce que tu écris, etniopal ?
As-tu remarqué l'hypothèse que la drivée de en est non nulle ?
À part ça :
Qui est ?
Es-tu sûr que si et , alors se prolonge en une fonction holomorphe en 0 ? (Ta dernière affirmation).
Es-tu sûr que si et alors le pôle de   est d'ordre 2 et son résidu est (qui est , encore une fois ?) ? (Ton avant-dernière affirmation).