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Résidus d'un pôle

Posté par
gaara 10-12-12 à 21:11

Bonsoir,

J'ai un problème avec un exercice :
on a une fonction :
\\ h(z) = \pi \frac{cotan(\pi z)}{z^2} = \pi \frac{cos(z\pi)}{z^2sin(z\pi)} \\

J'ai calculer les pôles j'ai trouvé :
z_1 = 0 d'ordre 3
z_2 = k avec k \in \mathbb{Z}

l'ordre de 0 c'est bien 3??

pour calculer Res(h, 0) j'ai fait :
\\ Res(h, 0) = \lim_{z\to 0} \frac{1}{2} (z^3 h(z))^{''} \\
mais ça me donne ce truc incalculable :

\\ = \frac{-\pi^2}{2} \lim_{z\to 0} (\frac{2}{sin^2(z\pi)} - \frac{2z\pi cos(z\pi)}{sin^3(z\pi)}) \\

Comment je fais pour calculer le résidus en 0 SVP? merci

Cordialement

Posté par
GaBuZoMeure : Résidus d'un pôle 10-12-12 à 21:18

En tout cas, pas par la formule que tu emploies. D'où sort-elle ?
Un petit coup de développement limité devrait te permettre de t'en sortir. N'oublie pas que tu cherches le coefficient de 1/z dans le développement en série de Laurent.

Posté par
miltonre : Résidus d'un pôle 10-12-12 à 21:19

salut
si t'est vraivent en troisieme année tu doi pouvoir calculer tte limite

Posté par
GaBuZoMeure : Résidus d'un pôle 10-12-12 à 21:22

@milton : et toi, tu devrais pouvoir écrire sans faire une faute tous les deux mots.

Posté par
gaarare : Résidus d'un pôle 10-12-12 à 21:31

GaBuZoMeu

Merci, ça me rassure, je vais suivre cette piste

Posté par
miltonre : Résidus d'un pôle 10-12-12 à 21:38

tu pourais pousser tes recherches sur la frequence de mes fautes

Posté par
gaarare : Résidus d'un pôle 10-12-12 à 21:45

j'ai pas trouvé la série de Laurent de cotan(z), c'est quoi ???

Posté par
GaBuZoMeure : Résidus d'un pôle 10-12-12 à 21:54

Tu dois connaître les développements limités en 0 de cos et sin, non ? (il n'y a pas besoin d'aller bien loin ici).

Posté par
gaarare : Résidus d'un pôle 10-12-12 à 22:08

j'ai trouvé sur le net que :

\\ \pi cot(z\pi) = \frac{1}{z} + \sum_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{z+n} \\

donc

\\ \\ h(z) = \frac{1}{z^3} + \sum_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{z^3+z^2n} \\ \\

mais y a pas le terme 1/z;

pour les développements limités en 0 de cos et sin, je ne sais pas à quel terme je vais m'arrêter ??

Posté par
GaBuZoMeure : Résidus d'un pôle 10-12-12 à 22:18

Plutôt que de piocher sur le net, mets-toi au travail pour de bon ! Essaie, et tu verras.

Posté par
gaarare : Résidus d'un pôle 10-12-12 à 22:19

J'ai trouvé une autre formule de cot :

\\ cot(z) = \frac{1}{z} - \frac{z}{3} - \frac{z^3}{45} ... \\

donc :

\\ h(z) = \frac{1}{z^3} - \frac{\pi^2}{3z} - ... \\

donc le Res(h, 0) = \frac{-\pi^2}{3} ??

Posté par
gaarare : Résidus d'un pôle 10-12-12 à 22:20

c'est que j'ai jamais fait le développement limité, c'est pour ça j'ai du mal à ma retrouvé

Posté par
GaBuZoMeure : Résidus d'un pôle 10-12-12 à 22:28

Et ce n'est pas en piochant sur le net que tu vas apprendre ! Tu iras aussi surfer sur internet pendant l'examen ?
Quelle formation as-tu suivie pour ne jamais avoir fait de dl ? J'ai peine à imaginer que ça soit possible.

Posté par
gaarare : Résidus d'un pôle 10-12-12 à 22:41

j'ai fait licence maths et informatique, du coups on a sacrifier plusieurs modules de maths malheureusement,
voila ce que j'ai trouvé en utilisant le développement limité
je ne sais pas si mon raisonnement est correcte, voila ce que j'ai fait :
au voisinage 0 on a :
\\ \\ h(z) = \frac{\pi}{z^2} \frac{cos(z\pi)}{sin(z\pi)} \\      \\      = \frac{\pi}{z^2} \frac{1 - \frac{(z\pi)^2}{2}}{z\pi} \\      \\      = \frac{1}{z^3} - \frac{\pi^2}{2z} \\ \\
donc le Res(h, 0) = -\frac{\pi^2}{2}

>_<

Posté par
GaBuZoMeure : Résidus d'un pôle 10-12-12 à 22:55

La, tu étais trop court en développement limité. Ce que tu as écrit (avec des signes =, sans écrire le reste du dl) est incorrect. Il faut TOUJOURS garder trace de ce qu'on néglige, sinon on fait des erreurs; la preuve. Essaie de faire mieux, pour retomber sur ton premier résultat.

Posté par
gaarare : Résidus d'un pôle 10-12-12 à 23:01

Merci infiniment, ça ma trop aidé, je vais réessayer

Posté par
gaarare : Résidus d'un pôle 10-12-12 à 23:58

j'ai fait le dl à l'ordre 3 j'ai trouvé :

\\ \\ = 1/z^3 - \pi^2/(3z) - \pi^4z/12 \\ \\

et c'est le bon résultat j'imagine

Posté par
GaBuZoMeure : Résidus d'un pôle 11-12-12 à 08:13

je n'ai pas vérifié le dernier terme, ça va pour le résidu mais encore une fois, tu n'écris pas "=" si tu omets le reste !

Posté par
gaarare : Résidus d'un pôle 11-12-12 à 14:32

Bien reçu! merci

Posté par
GaBuZoMeure : Résidus d'un pôle 11-12-12 à 14:46

Maple n'est pas d'accord avec toi :

Résidus d\'un pôle


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