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résolution d'équation

Posté par
meli44 07-11-07 à 21:46

Bonsoir,

Je cherche à résoudre des équations du type Xp - 1 = 0

Je sais la réponse à savoir qu'il y a p racines et qu'elle s'écrivent sous la forme ei2p/5... mais comment retrouver ???? Je ne vois pas du tout comment faire
Si qqn pouvait m'aider en me donnant des pistes, merci d'avance.

Cordialement,

Posté par
gui_toure : résolution d'équation 07-11-07 à 21:50

Salut

4$\fbox{x^p=1

L'équation admet exactement p racines p-ièmes w_0,w_1,...,w_k qui sont toutes de la forme :

\HUGE \reverse \green \rm \fbox{w_k=e^{i\fra{2k\pi}{n}} avec k\in[[0,n-1]]

Ce sont les racines p-ièmes de l'unité.

Posté par
gui_toure : résolution d'équation 07-11-07 à 21:51

Erf je recommence.

\HUGE%20\reverse%20\green%20\rm%20\fbox{w_k=e^{i\fra{2k\pi}{p}}%20avec%20k\in[[0,n-1]]

Posté par
Skopsre : résolution d'équation 07-11-07 à 21:53

Jamais 2 sans 3

Skops

Posté par
meli44re 07-11-07 à 21:53

ok merci de m'avoir répondu aussi vite
Il n'y a aucune démonstration? je veux dire que si j'ai l'équation, je peux directement mettre que cette équation admet pour solution ce que vous avez mis?

Merci

Cordialement

Posté par
gui_toure : résolution d'équation 07-11-07 à 21:59

Si tu as fait la démonstration une fois, alors tu peux l'admettre comme un résultat.

La démonstration n'est pas super longue, mais un peu barbante.
On y pose z=rho.e^(i.theta) etc ..

Salut Skops

Posté par
meli44ok 07-11-07 à 22:02

je ne l'ai jamais faite mais je vais l'admettre !!
Merci beaucoup


Cordialement

Posté par
Skopsre : résolution d'équation 07-11-07 à 22:03

\HUGE%20\reverse%20\green%20\rm%20\fbox{w_k=e^{i\fra{2k\pi}{p}}%20avec%20k\in[[0,p-1]]

Le message subliminal n'est pas passé

Skops

Posté par
gui_toure : résolution d'équation 07-11-07 à 22:03

Arf

Merci Skops

Posté par
infophilere : résolution d'équation 07-11-07 à 22:05

guitou > C'est encore plus joli avec ça : 4$ \rm \mathbb{[}

Posté par
gui_toure : résolution d'équation 07-11-07 à 22:07

Merci

Dommage, il n'y a pas de quatrième fois

Posté par
Skopsre : résolution d'équation 07-11-07 à 22:08

SVP

Vous pouvez me rappeler la démo ? surtout avec les angles

Skops

Posté par
infophilere : résolution d'équation 07-11-07 à 22:13

Et pour les racines nième d'un complexe ?

Tu as Z = z^n

Tu passes sous forme exponentielle et tu identifies.

Posté par
Skopsre : résolution d'équation 07-11-07 à 22:16

Oui ca fait 4$n\theta=0 non ?

Skops

Posté par
gui_toure : résolution d'équation 07-11-07 à 22:17

Soit 3$u=\rho.e^{i\theta} avec \rho>0 et 3$\theta\in[0,2\pi[

Les racines nièmes de u sont toutes de la forme

\HUGE%20\blue%20\rm%20\fbox{z_k=\sqrt[n]{\rho}.e^{i\(\fra{\theta}{n}+\fra{2k\pi}{n}\)}%20avec%20k\in\mathbb{[}0,n-1\mathbb{]}

Posté par
infophilere : résolution d'équation 07-11-07 à 22:18

Non non le nombre complexe dans le membre de gauche à aussi un argument !

ntheta = phi + 2kpi

Posté par
infophilere : résolution d'équation 07-11-07 à 22:19

Il voulait la démo guitou

Mais qu'est-ce qu'on fera pas pour sortir le LateX

Posté par
Skopsre : résolution d'équation 07-11-07 à 22:19

Je voulais parler des racines nièmes de l'unité

Skops

Posté par
infophilere : résolution d'équation 07-11-07 à 22:20

Dans ce cas c'est un cas particulier, tu prends theta = 0 avec la formule de guitou

Posté par
gui_toure : résolution d'équation 07-11-07 à 22:21

Je sais bien, mais la démo est plutôt .. embêtante à ressortir.

Je suis en train de faire mon anglais, flemme de sortir le classeur de maths

Il me semble qu'on a montré qu'elles étaient toutes distinctes, ou un truc comme ça.

Posté par
Skopsre : résolution d'équation 07-11-07 à 22:22

Oui mais la démo euuuh

4$z^n=1\Leftrightarrow (e^{i\theta})^n=e^0 non ?

Skops

Posté par
infophilere : résolution d'équation 07-11-07 à 22:28

Oui ou encore exp(2pi) ^^

Donc t'as ntheta = 2pi + 2kpi = 2pi(k+1)

theta = 2pi(k+1)/n

D'où le résultat

(Après ça dépend tu fais varier k entre quoi et quoi).

Bon c'est pas que je vous aime pas, mais ça va être dur demain matin

Bonne soirée !

Posté par
Skopsre : résolution d'équation 07-11-07 à 22:31

oui effectivement

Merci bien

Skops

Posté par
infophilere : résolution d'équation 07-11-07 à 22:35

De rien

Bonne rentrée !
++

Posté par
gui_toure : résolution d'équation 07-11-07 à 22:37

Bonne soirée et bonne rentrée vous trois

Posté par
Skopsre : résolution d'équation 07-11-07 à 22:37

A toi aussi

Je commence avec Français et elle va rendre un boulot qu'elle avait pris à une dizaine d'entre nous dont moi :(

Skops

Posté par
gui_toure : résolution d'équation 07-11-07 à 22:40

Je croise les doigts ^^

Allez, bonne nuit & bonnes révisions

Posté par
Skopsre : résolution d'équation 07-11-07 à 22:40



Bonne nuit à vous

Skops


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