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Niveau terminale
résolution d'équation en arithmétique
Posté par Siwarb
Bonsoir, voila ma question
Résoudre dans 
l'équation x^2
1 (mod187).
Personnellement, j'ai résonné comme ceci:
x^21 (mod187)
donc x^21 (mod17) et x^21 (mod11) avec 17
11=1
Puis j'ai fais le tableau des restes de x et x^2 modulo 17 et j'ai refais le même travail pour modulo 11.
Ainsi j'ai trouvé que x1 (mod 187)
Cette méthode m'a pris beaucoup de temps et je ne suis même pas sûre que c'est juste.
Pourriez-vous m'aider? Merci.
Bonjour,
Il y a un contexte à cet exercice ? un but pédagogique ?
N.B. : tu as raisonné , du moins j'espère que les cours ne sont pas sonores...
Barney @ 28-03-2019 à 20:04
Bonjour,
Il y a un contexte à cet exercice ? un but pédagogique ?
N.B. : tu as raisonné , du moins j'espère que les cours ne sont pas sonores...
Bonjour,
Il y a un contexte à cet exercice ? un but pédagogique ?
N.B. : tu as raisonné , du moins j'espère que les cours ne sont pas sonores...
C'est la seule question.
je ne suis pas sûr de la rigueur pour la suite du raisonnement, mais on peut commencer par remarquer que
x²-10 [187]
(x-1)(x+1)0 [187] 187=17*11
hormis le cas trivial: x=1 ou x=-1,
186 ou 188 sont solutions
ainsi que les multiples de 187 auxquels on ajoute 
1
restent les solutions composées avec :
x-1 = k1(11)
et x+1 = k2(17)
x = k1(11) +1
et x = k2(17) - 1 k1 et k2 ont la même parité
On cherche la racine carrée de 1 modulo 187. Si 187 était premier, il y aurait 2 solutions exactement, soit 1 et -1=186 mod 187.
Mais 187 est le produit de 2 nombres premiers impairs, il y a donc 4 solutions: les deux triviales ci-dessus et pour les deux autres on peut faire comme ceci: on résout le système x = 1 mod 11 et x = -1 = 16 mod 17. On utilise notre méthode préférée par exemple 1 + 11a = 16 + 17b --> 11a - 17b = 15, on trouve a=6 et b=3 donc x=67 mod 187. L'autre se trouve par symétrie: x = -67 = 120 mod 187.
Ce sont les 4 solutions: 1, 67, 120 et 186 mod 187.