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résolution d'une équation complexe

Posté par lola (invité) 26-10-07 à 14:23

il s'agit de résoudre sur C l'équation (E): (1+z)^2n=(1-z)^2n avec  n entier naturel fixé.

Posté par
raymond Correcteurrésolution d'une équation complexe 26-10-07 à 14:44

Bonjour tout de même.

Puisque 1 n'est pas solution,

3$\textrm (E) \Longleftrightarrow \Big(\fra{1+z}{1-z}\Big)^{2n} = 1 = exp(2ik\pi)

A plus RR.

Posté par
tizere : résolution d'une équation complexe 26-10-07 à 14:44

Bonjour,
déjà 1 ne peut pas être solution de l'équation, on peut donc écrire :
\(\frac{1+z}{1-z}\)^{2n}=1 et commencer par chercher des racines (2n)ième de l'unité.

Posté par lola (invité)re : résolution d'une équation complexe 26-10-07 à 15:22

merci pour ces réponses

Posté par
mikayaoure : résolution d'une équation complexe 26-10-07 à 15:24

bonjour

une question : a-t-on le droit de dire que z=1 est solution pour n=0 ?

Merci

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : résolution d'une équation complexe. 26-10-07 à 16:02

Bonjour ;

Je suppose \red\fbox{n\in\mathbb{N}^*} alors ,
toute solution z de (E) est imaginaire pure car |1+z|=|1-z| ,
en posant \fbox{z=itan(\alpha)\\\alpha\in]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[} on trouve les (2n-1) solutions de (E) : 2$\blue\fbox{z_k=itan(\frac{k\pi}{2n})\\k\in\{-(n-1),..,0,..,(n-1)\}} (sauf erreur bien entendu)

Posté par
mikayaoure : résolution d'une équation complexe 26-10-07 à 16:08

salut elhor

si n=1 z=0

z=0 est-il considéré comme imaginaire pur ?

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : résolution d'une équation complexe. 26-10-07 à 16:14

En général on entend par imaginaire pur tout nombre complexe dont la partie réelle est nulle (sauf erreur)

Posté par
mikayaoure : résolution d'une équation complexe 26-10-07 à 16:16

donc le réel zéro est considéré comme imaginaire pur ?

Posté par
lafol Moderateurre : résolution d'une équation complexe 26-10-07 à 16:36

Bonjour
mika : oui, car sinon, la droite des imaginaires purs a un trou !

Posté par
mikayaoure : résolution d'une équation complexe 26-10-07 à 16:42

j'avais en tête qu'un imaginaire pur ne pouvait pas être réel...

peut-être que zéro est l'exception qui confirme la règle

Posté par
lafol Moderateurre : résolution d'une équation complexe 26-10-07 à 16:44

O = Oi donc imaginaire pur : il s'écrit bien yi

Posté par
mikayaoure : résolution d'une équation complexe 26-10-07 à 16:50

zéro est donc bien le seul qui soit à la fois réel et imaginaire pur

Posté par
lafol Moderateurre : résolution d'une équation complexe 26-10-07 à 16:51

de même qu'il est le seul à être à la fois positif et négatif ....

Posté par lola (invité)re : résolution d'une équation complexe 30-10-07 à 16:18

bonjour elhor_abdelali
je n'ai pas compris pourquoi on pose z=itan(a)?

Posté par
raymond Correcteurre : résolution d'une équation complexe 30-10-07 à 17:22

Bonjour.

Je me permets de répondre à la place d'elhor que je salue au passage.

Elhor signale que les solutions sont des imaginairs pûrs, donc du type z = i.y.

Or, on sait que la fonction tangente réalise une bijection de :

]3$\fra{-\pi}{2} ; 3$\fra{\pi}{2}[ sur 3$\mathbb R.

Donc à chaque réel y possède un antécédent unique :

il existe un unique 3$\alpha \in ]\fra{-\pi}{2} \ ; \ \fra{\pi}{2}[ tel que y = tan(3$\alpha).

Mais tu peux te dispenser de passer par cette méthode et résoudre directement l'équation. Après quelques

transformations à l'aide des formules d'Euler, tu trouveras le même résultat.

A plus RR.

Posté par lola (invité)re : résolution d'une équation complexe 30-10-07 à 17:24

merci raymond je m'y mets de suite...

Posté par lola (invité)re : résolution d'une équation complexe 30-10-07 à 17:44

et une autre question je ne comprends pas non plus comment elhor arrive a dire que z =itan(kpi/2n) dsl mais j'ai vraiment du mal avec cette équation.J'essaie de la résoudre mais je bloque.

Posté par
raymond Correcteurre : résolution d'une équation complexe 30-10-07 à 18:19

Je reprends les notations de mon premier topic.

3$\textrm (E) : \Big(\fra{1+z}{1-z}\Big)^{2n} = 1 = exp(2ik\pi)

Remarquons que cette équation est au départ de degré 2n-1 (les termes en z2n-1 se réduisent).

3$\textrm (E) : \fra{1+z}{1-z} = exp(\fra{ik\pi}{n}) = a_k avec 0 < k < n.

On extrait z.

(a_k+1)z = a_k-1

On voit que ak = -1 ne convient pas donc on supprime k = n.

Pour toutes les autres valeurs de k :

3$\textrm z_k = \fra{a_k-1}{a_k+1} = \fra{exp(\fra{ik\pi}{n})-1}{exp(\fra{ik\pi}{n})+1}

En divisant le numérateur et le dénominateur de cette fraction par 3$ exp(\fra{ik\pi}{2n})

on arrive à :

4$\textrm z_k = \fra{exp(\fra{ik\pi}{2n})-exp(-\fra{ik\pi}{2n})}{exp(\fra{ik\pi}{2n})+exp(-\fra{ik\pi}{2n})}

Alors, les formules d'Euler donnent :

3$\textrm\fbox{ z_k = i.tan(\fra{k\pi}{2n}) \ , \ 0 \le \ k \le \ 2n-1 \ et \ k \neq \ n}

A plus RR.

Posté par
mikayaoure : résolution d'une équation complexe 30-10-07 à 18:21

Bel effort de laTeX, raymond

Posté par
simon92re : résolution d'une équation complexe 30-10-07 à 18:28

0 n'est pas un imaginaire pur, je crois
Sinon, mikayaou>> il parait que 0^0 est une forme indetermianée, donc z=1 et n=0 n'est pas possible
je me trompe peut être sur mes deux affirmation

Posté par
raymond Correcteurre : résolution d'une équation complexe 30-10-07 à 18:29

Bonjour mikayaou.

Je me suis lancé car je sais que lola est intéressée (voir mon topic sur la frustation dans la rubrique "site").

Le plus drôle avec le LaTeX, c'est qu'au bout d'un moment on ne sait plus si l'on a bien fermé telle ou telle "}"

Par contre, le plus triste est lorsqu'après un "aperçu" on oublie de "poster" et que l'on change de page. Le beau LaTeX disparaît et c'est tout à refaire. Cela m'est déjà arrivé au moins trois fois dont une fois lorsque je tapais mon corrigé du sujet concours Agro 2006 : une heure de frappe partie en fumée, l'horreur !!

A plus RR.

Posté par
mikayaoure : résolution d'une équation complexe 30-10-07 à 18:29

d'où mes questions.... ( mais je sais qu'elles partagent les matheux eux-mêmes )

Posté par
simon92re : résolution d'une équation complexe 30-10-07 à 18:29

pour les imaginaires purs>>

Posté par
mikayaoure : résolution d'une équation complexe 30-10-07 à 18:30

oui RR, j'ai bien saisi tes arguments que je partage bien que n'étant pas un expert en LaTeX

Posté par
lafol Moderateurre : résolution d'une équation complexe 30-10-07 à 18:34

simon : dans ton lien, on parle bien de iIR et pas de iIR* ....

Posté par lola (invité)re : résolution d'une équation complexe 30-10-07 à 18:35

merci beaucoup bon je m'attaque à la suite de ce dm...à très bientot je pense^^

Posté par
raymond Correcteurre : résolution d'une équation complexe 30-10-07 à 18:35

Vous avez raison : rien dans le texte stipule que n > 0.

Il faudrait donc commencer par là.

(1 - z)0 = (1 + z)0

Si z = 1 ou z = -1 cette équation n'est pas définie.

Ces deux cas exclus, tout autre z convient.

3$\textrm\fbox{S_0 = \mathbb{C} - \{-1,1\}}

A plus RR.

Posté par
mikayaoure : résolution d'une équation complexe 30-10-07 à 18:36

merci RR

Posté par
raymond Correcteurre : résolution d'une équation complexe 30-10-07 à 18:37

A bientôt lola.

Cordialement RR.

Posté par
raymond Correcteurre : résolution d'une équation complexe 30-10-07 à 18:41

En ce qui concerne les imaginaires purs, ils forment bien une droite sans trou :

3$\textrm 0 \in \ i.\mathbb R

A plus RR.

Posté par
lafol Moderateurre : résolution d'une équation complexe 30-10-07 à 18:42

merci, Raymond, de ce soutien !

Posté par
simon92re : résolution d'une équation complexe 30-10-07 à 18:44

Citation :
simon : dans ton lien, on parle bien de iIR et pas de iIR* ....

oui je sais mais il est aussi dit que Im(z) doit être différent de 0, donc que z est différent de 0, si l'on veut que z soit un imaginaire pur (et puis que Re(z)=0 bien sur)

Posté par
simon92re : résolution d'une équation complexe 30-10-07 à 18:44

iIR est le nom qu'on lui donne

Posté par
Epicurienre : résolution d'une équation complexe 30-10-07 à 18:51

Bonjour

Ma prof de maths, quand je lui ai posé cette question m'a dit que 0 est bien un imaginaire pur et pour la même raison que lafol : la droite sans trou.  

intéressant ce 0 tout de même!

Kuider.

Posté par lola (invité)re : résolution d'une équation complexe 30-10-07 à 21:57

bonsoir et oui c'est encore moi^^
                                                                                    
on me demande de montrer que le produit des racines non nulles de (E) vaut =tan²k(/2n)=1 pour k allant de 1 à n-1.
j'ai remplacé z par itan(k/2n) ds (E) donc on arrive a (e^k/n)^2n=1 apres j'ai ecrit des choses au brouillon...mais est-ce qu'il faut bien partir de là?
                                                                                              

Posté par
raymond Correcteurre : résolution d'une équation complexe 31-10-07 à 00:09

Il faut utiliser la relation entre les racines et les coefficients.

a0Xn + a1Xn-1 + ... + an-1X + an = 0

Alors le produit des racines est :

3$\textrm\Bigprod_{i=1}^nx_i = (-1)^n \fra{a_n}{a_0}

Ici, pour trouver les coefficients, il faut développer l'équation de départ par la formule du binôme de Newton.

Je te laisse le soin de l'écrire car c'est long. Tu verras que les z2n se simplifent de même que les "1".

Après avoir mis z en facteur (élimination de la racine z = 0), il reste :

4n.z2n-2 + ... + 4n = 0

Le produit vaut donc 3$\textrm P = (-1)^{2n-2} \fra{4n}{4n} = 1

A plus RR.

Posté par
raymond Correcteurre : résolution d'une équation complexe 02-11-07 à 15:47

Un petit Up !

Posté par lola (invité)re : résolution d'une équation complexe 02-11-07 à 22:03

merci Raymond j'ai réussi à montrer qu'il reste 4n.z^2n-2+...+4n=0 mais pourquoi peut-on dire que c'est aussi egal à tan²k/2n pour k allant de 1 à n-1?

Posté par
raymond Correcteurre : résolution d'une équation complexe 03-11-07 à 12:16

Bonjour.

Les 2n-2 racines s'écrivent 3$\textrm z_k = i.tan(\fra{k\pi}{2n})

avec deux suites : k = r € {1,2,...,n-1} ou bien k = s € {n+1,n+2,...,2n-1}

Alors sachant que tan (3$\pi-X) = - tan(X), nous avons :

3$\textrm z_r = i.tan(\fra{r\pi}{2n}) = - i.tan(\pi-\fra{r\pi}{2n}) = - i.tan(\fra{(2n-r)\pi}{2n}) = - i.tan(\fra{s\pi}{2n}) = - z_s

Ceci montre que les racines de la deuxième suite sont les opposées des racines de la première suite.

Donc :

3$\textrm z_r\times z_s = i.tan(\fra{r\pi}{2n})\times -i.tan(\fra{r\pi}{2n}) = tan^2(\fra{r\pi}{2n}) \ 1 \le r \le k-1.

A plus RR.

Posté par lola (invité)re : résolution d'une équation complexe 03-11-07 à 17:54

bonjour Raymond!
je n'ai pas bien compris pourquoi il y a deux suites?

Posté par
raymond Correcteurre : résolution d'une équation complexe 03-11-07 à 18:14

Bonjour.

Revois mon topic du 30 - 10, 18h 19 :

les solutions s'écrivent avec k € {0,1,...,2n-1} et k distinct de n.

A plus RR.

Posté par lola (invité)re : résolution d'une équation complexe 03-11-07 à 18:44

justement je crois qu'en fait c'est ça que je n'ai pas compris.
Désolé pour toutes ces questions

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : résolution d'une équation complexe. 03-11-07 à 20:41

Bonsoir raymond

lola >> En considérant le polynôme 2$\fbox{P_n(X)=(1+X)^{2n}-(1-X)^{2n}} dont les racines sont
les (2n-1) nombres complexes (imaginaires purs) 2$\fbox{z_k=itan(\frac{k\pi}{2n})\\k\in\{-(n-1),..-1,0,1,..n-1\}} ,

et en remarquant que 4nX^{2n-1} est le monôme dominant de P (qui est clairement impair) on a aussi ,
2$\fbox{P_n(X)=4n\Bigprod_{k=-(n-1)}^{n-1}(X-itan(\frac{k\pi}{2n}))=4nX\Bigprod_{k=1}^{n-1}(X^2+tan^2(\frac{k\pi}{2n}))} ,
et il ne nous reste plus qu'à faire tendre X vers 0 pour voir que ,
3$\blue\fbox{\Bigprod_{k=1}^{n-1}tan^2(\frac{k\pi}{2n})=\frac{P_n^'(0)}{4n}=\frac{4n}{4n}=1} (sauf erreur bien entendu)

Posté par Danièle671 (invité)question à raymond 04-11-07 à 12:09

bonjour,

pourquoi peut-on dire que l'équation est de degrés 2n-1 ? je ne comprends pas

Posté par
raymond Correcteurquestion à raymond 04-11-07 à 12:30

Bonjour.

Tu as essayé de développer (1+z)2n = (1-z)2n ?

Tu ne dois pas avoir trop de difficulté pour voir que les z2n se réduisent et que les z2n-1 restent.

A plus RR.


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