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Résolution d'une équation complexe

Posté par
Retxed 24-10-15 à 19:35

Salut à tous,

J'ai un exercice en maths qui me pose problème...

Voici l'énoncé :
Soit n, un entier naturel non nul et différent de 1. On considère (E) l'équation (z+1)^{n}-1=0.

Résoudre l'équation (E) dans . On écrira chaque solution de (E) sous la forme re^{i\Theta }, avec r et , deux réels.

********************************************************************************************
********************************************************************************************

Alors moi j'ai fait:
(z+1)^{n}-1=0
\Leftrightarrow  (z+1)^{n}=1
\Leftrightarrow  (z+1)= e^{\frac{2ik\pi}{n} }
\Leftrightarrow  z= e^{\frac{2ik\pi}{n} }-1

Ensuite j'ai factoriser par l'argument moitié et du coup je trouve :
  z= e^{\frac{ik\pi}{n} } (e^{\frac{ik\pi}{n} }- e^{\frac{-ik\pi}{n} })
z= e^{\frac{ik\pi}{n} } \times (-2i sin(\frac{k\pi}{n} ))

A partir de là, je ne sais plus trop comment m'y prendre ...

Merci d'avance

Posté par
alainpaulre : Résolution d'une équation complexe 24-10-15 à 19:44

Bonsoir,

Bien,
k=1,2,...,n ,n solutions,


Alain

Posté par
luzakre : Résolution d'une équation complexe 24-10-15 à 19:47

Bonsoir !
Tu as presque tout fait une erreur de signe : pas de signe -) z=2sin\dfrac{k\pi}n\Bigl(ie^{\frac{ik\pi}n}\Bigr).
Il te reste à mettre i sous forme exponentielle !
Tu aurais dû aussi préciser qui sont les k !

Cette réponse est correcte pour l'énoncé qui veut juste un réel r. Dans le cas où tu l'aurais mal recopié, il y a des chances qu'on veuille r\geqslant0 pour faire apparaître le module. Auquel cas il faut mettre une valeur absolue et corriger (par addition de \pi) l'exposant de l'exponentielle.

Posté par
mdr_nonre : Résolution d'une équation complexe 24-10-15 à 19:48

bonsoir : )

Citation :
\Leftrightarrow  (z+1)= e^{\frac{2ik\pi}{n} }
c'est quoi k ? si tu ne précises pas k alors c'est faux,

pour la suite je suppose que tu as bien précisé ce qu'est k, alors :
Citation :
\Leftrightarrow  z= e^{\frac{2ik\pi}{n} }-1

Ensuite j'ai factoriser par l'argument moitié et du coup je trouve :
  z= e^{\frac{ik\pi}{n} } (e^{\frac{ik\pi}{n} }- e^{\frac{-ik\pi}{n} })
ok très bien,

ensuite je ne suis pas d'accord avec (-2i(.)) c'est (+2isin(.))

ensuite il faut se souvenir que i = exp(ipi/2)... et étudier le signe de -2sin(kpi/n),
si -2sin(kpi/n) > 0, module = ?, argument = ?
si -2sin(kpi/n) < 0, module = ?, argument = ?

Posté par
mdr_nonre : Résolution d'une équation complexe 24-10-15 à 19:48

bonsoir : )

Citation :
\Leftrightarrow  (z+1)= e^{\frac{2ik\pi}{n} }
c'est quoi k ? si tu ne précises pas k alors c'est faux,

pour la suite je suppose que tu as bien précisé ce qu'est k, alors :
Citation :
\Leftrightarrow  z= e^{\frac{2ik\pi}{n} }-1

Ensuite j'ai factoriser par l'argument moitié et du coup je trouve :
  z= e^{\frac{ik\pi}{n} } (e^{\frac{ik\pi}{n} }- e^{\frac{-ik\pi}{n} })
ok très bien,

ensuite je ne suis pas d'accord avec (-2i(.)) c'est (+2isin(.))

ensuite il faut se souvenir que i = exp(ipi/2)... et étudier le signe de 2sin(kpi/n),
si 2sin(kpi/n) > 0, module = ?, argument = ?
si 2sin(kpi/n) < 0, module = ?, argument = ?

Posté par
luzakre : Résolution d'une équation complexe 24-10-15 à 19:50

Bonsoir mdr_non !
Si son énoncé est correct on ne lui demande que de trouver un réel r, on ne précise pas module.

Posté par
mdr_nonre : Résolution d'une équation complexe 24-10-15 à 19:57

salut luzak : )

ok

Posté par
Retxedre : Résolution d'une équation complexe 24-10-15 à 21:56

Salut à tous, et merci de toutes vos réponses

Non, je ne me suis pas trompé dans l'énoncé, r et sont bien deux réels.

D'accord, du coup on trouve :
    z= e^{\frac{i(1+\frac{\pi}{2} )k\pi}{n} } \times (2 sin(\frac{k\pi}{n} ))\: \: \: \: avec\: \: \: k \: \: \epsilon\: \: [1,n]  

Et du coup, les solutions de (E), c'est l'ensemble des complexes tel que     z= e^{\frac{i(1+\frac{\pi}{2} )k\pi}{n} } \times (2 sin(\frac{k\pi}{n} ))\: \: \: \: avec\: \: \: k \: \: \epsilon\: \: [1,n]    ?

Posté par
mdr_nonre : Résolution d'une équation complexe 24-10-15 à 22:19

non...

iexp(ikpi/n) = exp[i(pi/2 + kpi/n)] = exp[ipi(1/2 + k/n)]

z = 2sin(kpi/n)exp[ipi(1/2 + k/n)] \,  k \in [\![ 0 , n-1 ]\!]
ou si tu veux \,  k \in [\![ 1 , n ]\!] (pourquoi ça marche aussi ?)

Posté par
Retxedre : Résolution d'une équation complexe 24-10-15 à 22:21

Ah d'accord, merci !

Parce que n, non nul !

Posté par
mdr_nonre : Résolution d'une équation complexe 24-10-15 à 22:38

Citation :
Parce que n, non nul !
non, ce n'est pas ça la raison,


1) Déjà, on parle de racine n-ième de l'unité (défini comme étant les \omega_k := e^{\frac{2ki\pi}{n}} pour tout n >= 1. (Cette écriture n'a pas de sens (elle n'est pas définie) pour n = 0...)

2) Pour tout n >= 1, il existe très exactement n racines n-ièmes de l'unité deux à deux distinctes,
il s'agit de l'ensemble : \{ \omega_k = e^{\frac{2ki\pi}{n} : k \in [\![ 0 , n-1 ]\!] \}.

Tu peux calculer et voir que si on prend k = n, on retombe sur \omega_0 : \omega_n = e^{\frac{2ni\pi}{n} = e^{2i\pi} = 1 = \omega_0
si on prend k = n + 1, on retombe sur k = 1,
...

il s'agit en réalité d'un cycle de longueur n, on peut donc décider de prendre les entiers entres 1 et n, ou 0 et n - 1, ou n et 2n - 1 ou... n'importe quel ensemble de n entiers successifs et on aura toutes les solutions distinctes,

Posté par
mdr_nonre : Résolution d'une équation complexe 24-10-15 à 22:41

Citation :
Parce que n, non nul !
non, ce n'est pas ça la raison,


1) Déjà, on parle de racine n-ièmes de l'unité (définies comme étant les \omega_k := e^{\frac{2ki\pi}{n}} pour tout n >= 1. (Cette écriture n'a pas de sens (elle n'est pas définie) pour n = 0...)

2) Pour tout n >= 1, il existe très exactement n racines n-ièmes de l'unité deux à deux distinctes,
il s'agit de l'ensemble : \{ \omega_k = e^{\frac{2ki\pi}{n}} : k \in [\![ 0 , n-1 ]\!] \}.

Tu peux calculer et voir que si on prend k = n, on retombe sur \omega_0 : \omega_n = e^{\frac{2ni\pi}{n}} = e^{2i\pi} = 1 = \omega_0
si on prend k = n + 1, on retombe sur k = 1,
...

il s'agit en réalité d'un cycle de longueur n, on peut donc décider de prendre les entiers entres 1 et n, ou 0 et n - 1, ou n et 2n - 1 ou... n'importe quel ensemble de n entiers successifs et on aura toutes les solutions distinctes,

Posté par
Retxedre : Résolution d'une équation complexe 26-10-15 à 01:52

Ah d'accord, et bien merci de me l'avoir expliqué car je n'avais pas du tout compris ça avant

Posté par
mdr_nonre : Résolution d'une équation complexe 26-10-15 à 07:28

de rien : ) bonne continuation : )


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