Niveau Maths sup

Résolution de cox(x)^n + sin(x)^n = 1

Posté par
felino 09-09-09 à 02:06

Bonsoir, il s'agit de trouver les couples solution (x;n)* tels que cos(x)^n+sin(x)^n=1

J'ai essayer avec du ln et par une étude de fonction mais sans succés.

Posté par re : Résolution de cox(x)^n + sin(x)^n = 1 09-09-09 à 02:31

Bonsoir ;

une idée :

pour $3$n\ge3$ l'équation s'écrit aussi $4$\fbox{cos^2x(1-cos^{n-2}x)+sin^2x(1-sin^{n-2}x)=0}$

ce qui donne $5$\blue\fbox{et\{{cos^2x(1-cos^{n-2}x)=0\\sin^2x(1-sin^{n-2}x)=0}$ ...

Posté par re : Résolution de cox(x)^n + sin(x)^n = 1 09-09-09 à 02:38

Bonjour.

Si $n=2$
c'est vrai pour tout $x$ . C'est du cours.

Si $n=1$
il faut résoudre $\cos(x)+\sin(x)=1$ or $\cos(x)+\sin(x)=\sqrt2 \sin\left(x+\frac{\pi}4\right)$ pour tout $x$ .
Il faut donc résoudre $\sqrt2 \sin\left(x+\frac{\pi}4\right)=1$ ce que tu devrais savoir faire.

Si $n>2$
On a $-\cos^2(x)\leq \cos^n(x)\leq \cos^2(x)$ car $-1\leq \cos(x)\leq 1$ . De même pour le sinus.
D'où $\cos^n(x)+\sin^n(x)\leq 1$
On en déduit que l'égalité est vraie si et seulement si $\cos^n(x)=1$ ou $\sin^n(x)=1$ .
Attention à la parité de $n$

Posté par re : Résolution de cox(x)^n + sin(x)^n = 1 09-09-09 à 17:05

Excusez moi de vous déranger j'aimerais avoir une indication quant a la résolution d'équations trigonométriques suivantes ;

sin(x) + sin(x + pi/3)= racine de 3 sur 2
sin(2x) + cos(3x)= 0
cos(x) - sin(x)= 1

Merci d'avance !!!