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Résolution equations dans le domaine complexe

Posté par
tchoupieeee 13-12-16 à 21:43

Bonjour,

J'ai une résolution d'équation à effectuer dans C,
soit z²-(4-2i)z+6 = 0
1) résoudre cette equation
j'ai essayé de la résoudre en trouvant deux racines complexes x1 = 1-3i et x2 = 3+i
sauf que quand je remplace ces deux solutions dans mon equation, je ne trouve pas 0.
je ne vois pas a quel moment je me suis trompé ..

2) mettre sous la forme trigo
ces solution ne me donnent pas des arg teta remarquables j'ai genre pour la premeire solution |z1| = sqrt(10) et donc
cos(teta) = 3/sqrt(10)
sin(teta) = 1/sqrt(10)
pour trouver de façon exacte c'est possible ?

merci pour votre compréhension et votre aide precieuse.

Posté par
Glapion Moderateurre : Résolution equations dans le domaine complexe 13-12-16 à 22:05

c'est parce que les racines sont pas bonnes,
tu dois trouver 1+i et 3-3i

Posté par
tchoupieeeere : Résolution equations dans le domaine complexe 13-12-16 à 22:09

merci,

mais comment avez vous fait en 2 trois lignes car moi j'ai cherché le derterminant, passé les 2 racines avec la formule
x1 = (-b+sqrt(delta)) /2a  
x2 = (-b-sqrt(delta)) /2a  

avec un delta qui vaut -12 -16i jusque là ça va ?

Posté par
ThierryPomare : Résolution equations dans le domaine complexe 13-12-16 à 22:10

Bonsoir,

L'on a

\Delta=(4-2\,i)^2-24=16-4-16\,i-24=-12-16\,i=(2-4\,i)^2

d'où

(...)

Posté par
tchoupieeeere : Résolution equations dans le domaine complexe 13-12-16 à 22:16

bonsoir,

ça je comprend facilement mais c'est après je ne vois pas comment retrouver 1+i ou 3-3i
car on est d'accord qu'ici x1 = (( -4+2i)-i*sqrt((2-4i)²))/ 2 *1
??

Posté par
ThierryPomare : Résolution equations dans le domaine complexe 13-12-16 à 22:19

Non !

z_1=\dfrac{(4-2\,i)-\sqrt{(2-4\,i)^2}}{2}=\cdots\text{ et }z_2=\dfrac{(4-2\,i)+\sqrt{(2-4\,i)^2}}{2}=\cdots

Posté par
tchoupieeeere : Résolution equations dans le domaine complexe 13-12-16 à 22:21

pourquoi ne mettons nous pas de i devant la racine ? car il est deja inclus dans celle ci ?

Posté par
tchoupieeeere : Résolution equations dans le domaine complexe 13-12-16 à 22:21

ahh non car notre determinant n'est tout simplement pas negatif c'est ça ?

Posté par
tchoupieeeere : Résolution equations dans le domaine complexe 13-12-16 à 22:22

*delta

Posté par
Glapion Moderateurre : Résolution equations dans le domaine complexe 13-12-16 à 22:55

on est en nombre complexes tchoupieeee, les nombres complexes négatifs ça n'existe pas. (les racines de nombres complexes non plus d'ailleurs puisque il y en a deux )

Posté par
carpediemre : Résolution equations dans le domaine complexe 14-12-16 à 09:41

salut

ThierryPoma : horreur ...

z^2 - (4 - 2i)z + 6 = z^2 - 2(2 - i)z + 6 = (z - 2 + i)^2 + 6 - (2 - i)^2 = (z - 2 + i)^2 + 3 + 4i = (z - 2+ i)^2 + 4 - 1 + 2 * 2 * i = \\ \\ (z - 2 + i)^2 + (2 + i)^2 = ...(z - 2 + i)^2 - [i(2 + i)]^2 = ...

Posté par
ThierryPomare : Résolution equations dans le domaine complexe 14-12-16 à 10:56

Bonjour Carpi,

Qu'est-ce qui est horrible. J'avoue ne pas comprendre.

Posté par
jsvdbre : Résolution equations dans le domaine complexe 14-12-16 à 10:59

Bonjour Glapion

Glapion @ 13-12-2016 à 22:55

(les racines de nombres complexes non plus d'ailleurs puisque  il y en a deux )

On pourrait en dire autant en réels ! ... et pourtant ...

Posté par
ThierryPomare : Résolution equations dans le domaine complexe 14-12-16 à 11:13

Bonjour Glapion,

Je n'avais pas vu. L'on doit trouver une racine carrée de -12-16\,i. A ce titre, soit x, y des réels tels que (x+i\,y)^2=-12-16\,i. Cela revient à trouver des réels x, y tels que

\left\{\begin{array}{lllllr}&x^2&-&y^2&=&-12\\&x^2&+&y^2&=&20\\&&&x\,y&=&-8\\\end{array}\right.

la deuxième identité étant celle des modules ! Suis-je dans l'erreur ?

Posté par
carpediemre : Résolution equations dans le domaine complexe 14-12-16 à 11:27

jsvdb @ 14-12-2016 à 10:59

Bonjour Glapion
Glapion @ 13-12-2016 à 22:55

(les racines de nombres complexes non plus d'ailleurs puisque  il y en a deux )

On pourrait en dire autant en réels ! ... et pourtant ...


les racines de l'équation x^2 - 4 = 0 sont 2 et -2
les racines de l'équation x^2 + 1 = 0 sont i et -i

la racine carrée de 4 est 2
je ne peux pas parler de la racine carrée de -1 car -1 est (strictement) négatif ...

soyons précis sur les mots ...

Posté par
Glapion Moderateurre : Résolution equations dans le domaine complexe 14-12-16 à 11:31

non, non ça c'est tout à fait bien.
ce qui était choquant c'est quand tu écris z_1=\dfrac{(4-2\,i)-\sqrt{(2-4\,i)^2}}{2}, parce qu'on écrit pas d'un nombre complexe.

Posté par
jsvdbre : Résolution equations dans le domaine complexe 14-12-16 à 12:11

Dans \R ou \C, on ne peut pas parler de la racine d'un nombre, mais des racines, et ce pour tout réel positif ou tout complexe (c'est juste un problème algébrique)
Dans \C, il parfaitement légitime de parler des racines de -1.
Le problème est tout autre : peut-on parler d'une fonction racine sur \C qui vérifie la continuité, qui vérifie \sqrt{z_1.z_2} = \sqrt {z_1}\sqrt{z_2} etc etc.
C'est impossible sur \C, mais sur \C - \R_-^* c'est possible ! (à vérifier) comme ce le serait sur \C - \R_+^*

Posté par
carpediemre : Résolution equations dans le domaine complexe 14-12-16 à 12:57

ce n'est pas tant la racine mais c'est la racine carrée (ou cubique ou n-ième) ...

Posté par
tchoupieeeere : Résolution equations dans le domaine complexe 14-12-16 à 14:34

Bonjour,
Merci de vos réponses. Mais je me demandais est-ce que si on élève un nombre complexe au carré
(a+ib)^2  et que ensuite on lui applique une racine carré par la suite est-ce qu'on a le droit de dire que c'est égal à
(a+ib). Cela signfirais que à+ib est positif ?

Posté par
jsvdbre : Résolution equations dans le domaine complexe 14-12-16 à 14:37

Une possibilité de construire une une détermination continue d'une racine carrée dans \C suivante : (notons la \sqrt . histoire de faire dans l'originalité) :
- son domaine est \C-\R_-
- sa restriction à \R_+^* est la fonction racine classique.
Cette détermination est unique, y est holomorphe et sa dérivée est ... je vous le donne en 1000 ...

Partant de là : \sqrt i = e^{i\pi/4}

Posté par
jsvdbre : Résolution equations dans le domaine complexe 14-12-16 à 14:43

tchoupieeee @ 14-12-2016 à 14:34

je me demandais est-ce que si on élève un nombre complexe au carré (a+ib)^2  et que ensuite on lui applique une racine carré par la suite est-ce qu'on a le droit de dire que c'est égal à
(a+ib).

Cela dépend en quels termes tu parles :

- Si tu parles en termes fonctionnels, tout dépend de la détermination de la racine que tu choisis !
- Si tu parles en termes algébriques, oui, (a+ib) est UNE racine de (a+ib)^2 (l'autre étant -(a+ib))

tchoupieeee @ 14-12-2016 à 14:34

Cela signfirait-il que à+ib est positif ?

Sur \C il peut y avoir un ordre (et même un bon ordre) mais il ne peut pas y avoir d'ordre qui soit compatible avec la multiplication.

Posté par
jsvdbre : Résolution equations dans le domaine complexe 14-12-16 à 14:49

Et ce qui est "atroce", c'est qu'il n'existe pas de détermination continue d'une racine sur n'importe quel ouvert complexe contenant 0, ni même sur aucun cercle centré en 0.

Posté par
ThierryPomare : Résolution equations dans le domaine complexe 14-12-16 à 16:09

L'on a que \phi:(\C,\,+)\to(\C^*,\,\times) est un épimorphisme continu de groupes tel que \ker\,\phi=2\,i\,\pi\,\Z, de sorte que

\dfrac{\C}{2\,i\,\pi\,\Z}\simeq\C^*

Cela dit, la détermination principale du logarithme est l'application

\mathrm{Log}_{-\pi}:\left\{\begin{array}{rcl}\C\setminus\R_-&\longrightarrow&\{z\in\C:\mathrm{Im}\,z\in]-\pi,\,\pi[\}\\z&\longmapsto&\ln\,|z|+i\,\mathrm{Arg}\,z\\\end{array}\right.

où la fonction \mathrm{Arg}, détermination principale de l'argument, se trouve définie ici , page 10 du livre, proposition-définition 1.5.3. Maintenant, suivant ce que l'on trouve à la page 12 du dit livre et pour cette détermination principale du logarithme, la fonction

\sqrt{\phantom{z}}\,:\left\{\begin{array}{rcl}\C\setminus\R_-&\longrightarrow&\C\\z&\longmapsto&\sqrt{z}=\exp\left(\dfrac{\ln\,|z|+i\,\mathrm{Arg}\,z}{2}\right)\\\end{array}\right.

est bien définie.

Toutefois, pour les initiateurs, je ferai un effort de rédaction la prochaine fois, comme je le faisais auparavant, à condition d'avoir le temps.

Posté par
ThierryPomare : Résolution equations dans le domaine complexe 14-12-16 à 16:17

NB : \phi=\exp

Posté par
tchoupieeeere : Résolution equations dans le domaine complexe 14-12-16 à 20:11

Merci pour le lien et les explications TierryPoma.
Par contre dans la suite de l'exercice on me demande
" donner les solutions de l'équations Z^4-(4-2i)Z²+6 = 0 "
Cela signifie donc qu'il ne faut pas les recalculer mais utiliser la précédente équation mais je ne vois pas comment, car si l'on factorise par z on ne retombe pas sur l'ancienne équation.

Posté par
carpediemre : Résolution equations dans le domaine complexe 14-12-16 à 20:43

tu ne vois aucun lien entre les deux ...

Posté par
tchoupieeeere : Résolution equations dans le domaine complexe 15-12-16 à 16:39

les z ont été élevé au carré

Posté par
carpediemre : Résolution equations dans le domaine complexe 15-12-16 à 16:42

donc tu peux poser z = Z^2 par exemple ...


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