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Résoudre dans C

Posté par
Saraarasat 29-10-18 à 16:53

Bonjour à tous j'essaie de résoudre une équation mais je n'arrive même pas à trouver le discriminant. Voici l'équation d'inconnue z
:  
z^4+2l^2*(1+cos(x))* cos(x)*z^2+l^4*(1+cosx)^2=0

(Sachant que l=lambda)

J'ai posé Z=z^2
Je calcul maintenant le discriminant et je réussis jusqu'à tomber sur

delta = 4l^4(1+cos(x))^2*(-sin^2x)

À partir de la je ne sais pas comment faire j'ai développer le carré , utiliser les formules d'euler mais tout ca n'aboutit à rien.
S'il vous plaît proposez moi une solution.
Merci à vous.

Posté par
sanantonio312re : Résoudre dans C 29-10-18 à 16:55

Bonjour. Que représentent I et x?

Posté par
verdurinre : Résoudre dans C 29-10-18 à 17:25

Bonsoir,
tu veux résoudre

z^4+2z^2\lambda^2(1+\cos x) \cos x +\lambda^4(1+\cos x)^2=0

Pour commencer tu peux calculer

\bigl(z^2+\lambda^2(1+\cos x)\bigr)^2

Posté par
Saraarasatre : Résoudre dans C 29-10-18 à 18:04

L = lambda appartient aux complexes
Et x en vérité c'est teta mais je ne sais pas comment l'écrire ici et c'est un réel appartenant à [0,pi]

Posté par
Saraarasatre : Résoudre dans C 29-10-18 à 18:49

J'ai pris l'équation z^z+l^2(1+cos(x))=0
Je calcul donc delta
Delta = -4l^2(1+cos(x))

Comment je fais pour savoir si ce discriminant est négatif ou positif

Sachant qu'à la fin je suis censé trouver 4 solutions

Posté par
verdurinre : Résoudre dans C 29-10-18 à 19:04

Il y a bien quatre solutions ( dans C ).

Pour simplifier un peu tu peux poser a=\lambda^2(1+\cos\theta) et X=z^2.

Ton équation s'écrit alors :

X^2+2aX\cos\theta+a^2=0

Le discriminant est alors \Delta=4a^2(\cos^2\theta-1)=-4a^2\sin^2\theta
Le signe est facile à déterminer et les solutions sont évidentes, pour X.

Il ne reste plus qu'a calculer des racines carrées.

Posté par
carpediemre : Résoudre dans C 29-10-18 à 19:38

salut

il est quand même malheureux de ne pas savoir que l'alphabet compte 26 lettres et de ne pas avoir l'idée de les utiliser au lieu de s'em... avec des lettres grecques ....

la forme canonique permet de résoudre seulement comme au collège ...


z^4 + 2a^2(1 + \cos t) \cos t z^2 + a^4(1 + \cos t)^2 = [z^2 + a^2 \cos t(1 + \cos t)]^2 - a^4 \cos^2t (1 + \cos t)^2 + a^4(1 + \cos t)^2 = [...]^2 - i^2 a^2 \sin^2 t(1 + \cos t)^2 = \\ \\ z^2 + a^2(1 + \cos t)(\cos t - i \sin t)][z^2 + a^2(1 + \cos t)(\cos t + i \sin t)] = [z^2 - i^2a^2(1 + \cos t)e^{it}] [z^2 - i^2 a^2 (1 + \cos t) e^{-it}] = ...

Posté par
Saraarasatre : Résoudre dans C 29-10-18 à 19:40

Justement j'ai dis dans l'énoncé de mon problème que j'étais arrivé jusque là mais que c'est après que mon probleme se complique. Je n'arrive pas à continuer enfin je ne sais pas comment trouver les solutions après avoir trouvé le discriminant.

Posté par
carpediemre : Résoudre dans C 29-10-18 à 19:46

ben je te montre que chaque facteur de mon dernier produit est de la forme a^2 - b^2 et tout collégien sait le factoriser ....

Posté par
Saraarasatre : Résoudre dans C 01-11-18 à 13:44

Je sais pas mon cerveau doit été bloqué mais je n'arrive toujours pas à trouver les racines après avoir trouver le discrimiant.

J'ai essayé de transformer lambda en x+iy mais sans succès et je trouve seulement 2 racines sûrement fausse au lieu de 4.

Posté par
luzakre : Résoudre dans C 01-11-18 à 14:50

Que ce soit dans \C ou dans \R une racine carrée de \lambda^4 vaut \lambda^2, l'autre c'est l'opposé !

Pour  \lambda réel ou complexe,  les racines carrées de \lambda^2 sont \lambda,\;-\lambda.
Celles de -\lambda^2 sont les précédentes multipliées par i...

Posté par
Saraarasatre : Résoudre dans C 02-11-18 à 12:47

Je trouve Z1 = -L^2(1+cos(t))e^it et Z2 son conjugué
Maintenant je veux trouver z^2 je pose donc z^2= -L^2(1+cos(t))e^it
Je pose z=re^it
J'obtiens r^2=-L^2(1+cos(t))
                     r=iL*sqrt(1+cos(t))
J'arrive à z= iL*sqrt(1+cos(t))*e^i(t/2)
Et z=  iL*sqrt(1+cos(t))*e^-i(t/2)
Je fais pareil avec Z2
Est ce correct ?

Posté par
luzakre : Résoudre dans C 02-11-18 à 15:35

Z_2 n'est pas le conjugué de Z_1 : tu n'as pas une équation à coefficients réels.
Ton Z_1 me semble faux : d'où sort ce signe "-" devant \lambda^2 ?
Sauf erreur, je trouve Z_1=\lambda^2(1+\cos\theta)e^{i\theta} et je te laisse le soin de calculer Z_2.
..................................
Je répète :
pour résoudre  z^2=k^2 tu as deux solutions z'=k,\;z''=-k.

Ici tu peux prendre k=\lambda\sqrt2(\cos\frac{\theta}2)\,e^{i\theta/2}

Ta recherche de la forme trigonométrique de Z_1 est inutile (une racine carrée évidente) et tu dois proposer pour module un réel positif ce qui n'est pas le cas de ton r.

........................................................
@verdurin
La notation a=\dots que tu proposes est intéressante mais trompeuse !
Même toi tu parles de signe  pour a alors que \lambda est un complexe ...

Posté par
carpediemre : Résoudre dans C 02-11-18 à 16:00

carpediem @ 29-10-2018 à 19:38

z^4 + 2a^2(1 + \cos t) \cos t z^2 + a^4(1 + \cos t)^2 = [z^2 + a^2 \cos t(1 + \cos t)]^2 - a^4 \cos^2t (1 + \cos t)^2 + a^4(1 + \cos t)^2 = [...]^2 - i^2 a^2 \sin^2 t(1 + \cos t)^2 = \\ \\ z^2 + a^2(1 + \cos t)(\cos t - i \sin t)][z^2 + a^2(1 + \cos t)(\cos t + i \sin t)] = [z^2 - i^2a^2(1 + \cos t)e^{it}] [z^2 - i^2 a^2 (1 + \cos t) e^{-it}] = \\ \\ \blue [z - ia \sqrt {1 + \cos t} e^{it/2}][z + ia \sqrt {1 + \cos t}e^{it/2}] [z - ia \sqrt {1 + \cos t} e^{-it/2}] [z + ia \sqrt {1 + \cos t} e^{-it/2}]

Posté par
Saraarasatre : Résoudre dans C 02-11-18 à 16:03

Et bien pour avoir z1 on fait -b-ir/2a et z2 =-b+ir/2a
avec le discriminant = (ir)^2
Ici ir= 2iL^2(1+cos(t))*(sin(t))^2

Donc exemple
z1= -L^2(1+cos(t))*cos(t)-iL^2(1+cos(t)(sin(t))
Z1=-2L^2(1+cos(t))(cos(t)+isin(t))
Z1= -L^2(1+cos(t)e^it

Voila d'où vien mon "-" devant lambda

Posté par
Saraarasatre : Résoudre dans C 02-11-18 à 16:10

Donc si z^2=k^2 revient à z=k cela voudrai dire que deux de mes solutions sur les 4 sont (pour z1)
z=L*sqrt((1+cos(t))*e^i(t))
Et z"= -L*sqrt((1+cos(t))*e^i(t)) ?

Posté par
Saraarasatre : Résoudre dans C 02-11-18 à 16:25

Je suis passé par la forme trigonométrique car pour moi quand on résouds dans C z^2=Z, Z peut s'écrire re^it et ensuite on trouve les solutions

Posté par
luzakre : Résoudre dans C 02-11-18 à 18:40

Oui mais alors il faut fournir un module réel positif ce que tu n'as pas fait. Et surtout, ne pas réutiliser une lettre de l'énoncé pour argument sauf à le justifier (ici ce serait impossible).

De plus quand il y a des racines carrées complexes évidentes le calcul "module -argument" est plus compliqué.
.............................
D'accord pour l'écriture Z_1=-\lambda^2(1+\cos\theta)e^{i\theta} (il y a un signe moins)  donc, soit tu prends les racines ik,-ik soit tu mets le -1 dans l'exponentielle puisque -e^{i\theta}=e^{i(\pi+\theta)}
................................
Je t'ai donné un moyen de tout écrire sans le signe "racine" : tu pourrais peut-être utiliser les indications.

Oui tu as les solutions concernant Z_1 et il faut maintenant passer à la résolution z^2=Z_2.

Posté par
Saraarasatre : Résoudre dans C 02-11-18 à 21:39

D'accord merci pour vos indications  j'obtiens avec votre notation proposé:

z1=L*sqrt(2)*cos(t/2)*e^i(t+pi)/2
z2=-L*sqrt(2)*cos(t/2)*e^i(t+pi)/2
z3==L*sqrt(2)*cos(t/2)*e^i(t-pi)/2
z4=L*sqrt(2)*cos(t/2)*e^i(t-pi)/2

Posté par
Saraarasatre : Résoudre dans C 02-11-18 à 21:40

Désolé pour z4 j'ai oublié le "- " devant la valeur de z4

Posté par
luzakre : Résoudre dans C 02-11-18 à 23:24

Je pense que pour z_3,z_4 que c'est plutôt -t+\pi car pour Z_2, sauf erreur, Z_2=-\lambda^2(1+\cos\theta)(\cos\theta-i\sin\theta)=\lambda^2(1+\cos\theta)e^{-i\theta+i\pi}.

..........................
Raison supplémentaire pour éviter de calculer module et argument : tu aurais été obligé(e) de prendre pour module |\lambda|\,|\cos(\theta/2)|\sqrt2 ce qui complique énormément l'écriture des solutions (introduction d'un argument pour \lambda, discussion pour le signe de \cos(\theta/2)).

Posté par
carpediemre : Résoudre dans C 02-11-18 à 23:51

ma méthode ne nécessite rien d'autre que de connaitre les identités remarquables ...


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