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Résoudre une équation second degré en nombres complexes.

Posté par Mario27 (invité) 04-02-05 à 11:19

Résoudre une équation du second degré dans le corps des nombres complexes
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Soit l'équation dans C définie par :

Z^2 - 2 p z + 1 = 0

où p = sin a + i cos a

On appelle z' et z'' ses racines.

Question
----------

Trouver le module et l'argument de :

z' - p  et de z'' - p

*******************************************************

Bonjour,

Je trouve une indication sur la somme des racines pour commencer :

z' + z'' = -(-2*p)/1 = 2p
donc (z' - p) = - (z''- p)
Bon!

Calculons le discriminant:
D=4*p^4 - 4
D est complexe et j'appelle d , une de ses 2 racines
z' = (2*p + d) /2
donc z'-p = d/2
Voilà.
Mais ensuite je n'arrive pas à trouver le module et l'argument de racine carrée de (p^2 - 1 )

Je dois faire appel à une aide aimable.

Et je vous remercie d'avance pour avoir cherché mon sujet.

A bientôt.

M.F.

Posté par
dadou
re : Résoudre une équation second degré en nombres complexes. 04-02-05 à 11:56

Salut,

Tu as deja montre que (z'-p)=-(z''-p).
De plus (z-z')(z-z")=z2-2pz+1. En prenant z=p, il vient:
(p-z')(p-z")=p2-2p2+1=-p2+1
On en déduit que
(z'-p)2= p2-1;
ce qui devrait t'aider pour conclure.
A+
dadou

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Résoudre une équation second degré en nombres complexes. 04-02-05 à 13:20

z² - 2 p z + 1 = 0

z' = p - (p²-1)^(1/2)
z'' = p + (p²-1)^(1/2)

z'- p = - (p²-1)^(1/2)
z'' - p  = (p²-1)^(1/2)

|z'-p| = |z''-p| = |(p²-1)^(1/2)|
|z'-p|² = |z''-p|² = |(p²-1)|
|z'-p|² = |z''-p|² = |(p²-1)|

|z'-p|² = |z''-p|² = |(sin(a)+icos(a))²-1)|
|z'-p|² = |z''-p|² = |(sin²(a)-cos²(a)+2i.sin(a).cos(a)-1)|
|z'-p|² = |z''-p|² = |(sin²(a)-cos²(a)+2i.sin(a).cos(a)-cos²(a)-sin²(a))|
|z'-p|² = |z''-p|² = |-2cos²(a)+2i.sin(a).cos(a)|
|z'-p|² = |z''-p|² = |-1-cos(2a)+i.sin(2a)|

|z'-p|² = |z''-p|² = V[(1+cos(2a))²+sin²(2a)]
|z'-p|² = |z''-p|² = V[(1+cos²(2a)+2cos(2a)+sin²(2a)]
|z'-p|² = |z''-p|² = V[2+2cos(2a)] = V2 .V(1+cos(2a))
|z'-p|² = |z''-p|² = V[2+2cos(2a)] = V2 .V(2cos²(a))
|z'-p|² = |z''-p|² = 2.|cos(a)|

|z'-p| = |z''-p| = V[2.|cos(a)|]
-----
p²-1 = -1-cos(2a)+i.sin(2a)

Avec Phi un argument de p² - 1
tg(phi) = sin(2a)/(-(1+cos(2a))
tg(phi) = -tg(a)

phi = -a  ou phi = Pi-a

arg[(p²-1)^(1/2)] = -a/2 ou (-a/2)+(Pi/2)

...
-----

Sauf distraction.  

Posté par radeau (invité)equation du second degré 06-02-05 à 21:30

bonjour,
z^2-2pz+1=(z-p)^2 +1-p^2 ; comme en réel
soit (z-p)^2=p^2-1 ;
le problème consiste à calculer les racines de p^2-1
on factorise:
p=cosa +i sin a => |p|=1, arg(p)=a
=> |p^2|=1  arg(p^2) = 2a => p^2=cos(2a)+i.sin(2a)
=> p^2-1=cos(2a)-1+i.sin(2a)= -2sin(a)^2+2isin(a).cos(a)
=> p^2-1=2i.sin(a)(cos(a)+isin(a))
pour le module on sait que:
| z-p |= | p^2-1|^(1/2)
=|2i sin(a)|^(1/2).|cos(a)+isin(a)|^(1/2)
=|2 sin(a)|^(1/2)

pour l'argument :
arg(z-p)=1/2 arg(p^2-1) + k.pi k=0 pour z', k=1 pour z"
=(1/2)(arg(i)+arg(sin(a))+(1/2)arg(cos(a)+isin(a))+k.pi
=(1/2)(sign(sin(a)).pi/2) +a/2 +k.pi
En résumé
| z'-p|=|z"-p|=|2 sin(a)|^(1/2)
arg(z'-p)=(1/2)(sign(sin(a)).pi/2 +a/2
arg(z"-p)=(1/2)(sign(sin(a)).pi/2 +a/2+pi

bon courage

Posté par radeau (invité)oups! sina +i cosa et pas cosa +isina 06-02-05 à 21:33

moi j'ai fait une étourderie , la solution de JP est la bonne .

Posté par Mario27 (invité)Equation du second degré dans le corps des nombres complexes; 23-02-05 à 10:48

Résoudre une équation du second degré dans
----------------------------------------------------
le corps des nombres complexes
------------------------------------

Soit l'équation dans C définie par :

Z^2 - 2 p z + 1 = 0

où p = sin a + i cos a

On appelle z' et z'' ses racines.

Question 1
----------

Trouver le module et l'argument de :

z' - p et de z'' - p

**********************************
Bonjour


J'en conclus que le module commun de z' - p et z" - p est V(2 | cos a|) avec la notation V( ) pour la fonction racine carrée;
et leurs arguments (pi-a)/2 et (3pi -a)/2
dans cet ordre où dans l'ordre inversé selon le cas (c.à d. le signe de |cos a|).

Question 2
------------
Si cos a < 0
a)montrer que z'+i et z"+i ont même module
b) montrer que z'-i et z"-i ont même argument
c) donner une interprétation géométrique.

Question 3
------------
Que se passe-t-il pour cos a>0 ?

*************************************
Euh! ....
J'avoue que mes calculs ne mènent à rien. (!)
Aidez-moi encore svp
Je dois faire appel à une aide aimable.

Et je vous remercie d'avance pour avoir cherché mon sujet.

A bientôt.

M.F.  



*** message déplacé ***

Posté par
Océane Webmaster
re : Résoudre une équation second degré en nombres complexes. 23-02-05 à 11:21

A lire, d'autant plus que tu as déjà eu de l'aide

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q03 - Pourquoi ne faut-il pas faire du ''multi-post'' ?



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