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Niveau Licence Maths 1e ann
Restes de division euclidienne avec cosinus et sinus
Posté par Supradyn
Bonjour,
Je bloque complètement sur un exercice dont voici la donnée:
Soit un entier. Trouver les restes de la division du polynôme
par
. Indication: considérer
et
.
Je ne comprends pas vraiment les indications car je ne vois pas comment diviser P(i) par , c'est-à-dire, dans ce cas-là,
...! De même, je pensais faire une démonstration par récurrence en utilisant le fait que n soit entier mais je ne vois même pas comment faire une division euclidienne avec ces cosinus et sinus...
Bref, je suis complètement perdue. Un coup de main ne serait pas malvenu...
Merci d'avance pour vos réponses et à bientôt,
Supradyn
Bonjour,
Par division euclidienne, on peut écrire P=Q(X²+1) + aX+b.
La question est alors de déterminer a et b.
Si cette égalité est vraie dans R, alors elle est vraie dans C, et on peut par exemple l'évaluer pour X=i ou X=-i et voir ce que cela donne.
Merci beaucoup pour la réponse!
J'ai donc noté ceci:
P(x) = Q(X^2 +1) +aX +b
P(i) = ai+b (car
)
Et j'en conclus:
Pour n=1:
Pour n:
Pour n+1: ...? En fait, je n'arrive pas vraiment à terminer ma récurrence car je ne vois pas en quoi le résultat pour n est utile pour démontrer le cas n+1.
On a:
Et donc, pour n+1, ...?
Et même si je parvenais à terminer ma récurrence correctement, est-ce qu'on pourrait considérer l'exercice comme terminé? Parce qu'on est censés trouver les restes de la division pour n'importe quelle valeur de x, non? 
Encore merci pour votre réponse précédente, en espérant que vous pourrez m'aider encore un peu 
Bonjour
Supradyn @ 04-07-2016 à 15:25
...
Pour n+1: ...? En fait, je n'arrive pas vraiment à terminer ma récurrence car je ne vois pas en quoi le résultat pour n est utile pour démontrer le cas n+1
....
...
Pour n+1: ...? En fait, je n'arrive pas vraiment à terminer ma récurrence car je ne vois pas en quoi le résultat pour n est utile pour démontrer le cas n+1
....
c'est exactement ce qui doit te conduire à la conclusion qu'une récurrence ne sert à rien ici ....
tu as tout bêtement