Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Autre AnalyseTopics traitant de analyse [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau autre
Partager :

Segment glissant [Besoin d'explications]

Posté par
infophile 12-12-06 à 18:08

Bonsoir

Suite à ce topic : Segment Glissant sur un repère qui m'intéresse énormément, j'aurais voulu quelques explications : Comment alfred15 a-t-il déterminé l'équation de la courbe crée par le segment glissant ?

-----

Pour rappeler brièvement l'objet du topic, il est question de déterminé l'équation de la courbe que décrit un segment de longueur fixe L placé initialement vertical contre l'axe (Oy) d'un repère, puis se met à glisser  du pied (initialement au point O) en gardant toujours une extrémité sur l'axe (Oy) et l'autre sur l'axe (Ox) de cette façon :

Segment glissant [Besoin d\'explications]

L'équation en question est : \large \fbox{ y=L(1-(\frac{x}{L})^{2/3})^{3/2}}

-----

Je vous remercie par avance

PS : Est-il possible de calculer l'aire sous la courbe en fonction de L?

Posté par
Rodrigore : Segment glissant [Besoin d'explications] 12-12-06 à 18:12

Il me semble qu'un théorème de Koenig (sur le moment par rapport à O) assorti de la condition de non glissement, doit permettre de s'en sortir. Enfin j'ai oas fait les calculs mais si j'avait un tel exo à faire c'est comme ça que je me lancerai

Posté par
infophilere : Segment glissant [Besoin d'explications] 12-12-06 à 18:20

Bonsoir Rodrigo

Je ne connais pas ce théorème, et j'aimerais pouvoir aborder ce problème à mon niveau (c'est à dire Terminale). Je vais me renseigner

Merci

Posté par
Rodrigore : Segment glissant [Besoin d'explications] 12-12-06 à 18:25

Si tu te renseigne c'est plutot en physique qu'il faut chercher, le théo de Koenig auquel je faisai allusion dit que le moment d'un solide par rapport à un point O, vaut le moment cinétique barycentrique + le moment du barycentre par rapport à O

Posté par
infophilere : Segment glissant [Besoin d'explications] 12-12-06 à 18:25

J'ai trouvé le théorème sur Wikipédia, il m'a l'air bien compliqué pour moi . Il n'y a pas d'autres possibilités ?

Dommage que le mail d'alfred15 ne figure pas dans son profil...

Posté par
Rodrigore : Segment glissant [Besoin d'explications] 12-12-06 à 18:34

C'est de la méca des solides, don forcément ca fait appel à des choses plus compliqué, j'ai bien peur qu'il n'y ait pas de méthode simple pour avoir simplement l'equation du mouvement de la planche. A moins de redémontrer à la main le théo de Koenig mais si tu veux mon avis c'est plus compliqué. C'est vrai que la meca des solides c'est un peu costaud pour un terminale. (C'est du programme de spé essentiellement.)

Posté par
infophilere : Segment glissant [Besoin d'explications] 12-12-06 à 18:37

Penses-tu pouvoir aboutir à l'équation avec ce théorème ? Et plus dur : me l'expliquer ?

De toute façon je n'ai rien à perdre, mis à part découvrir de nouveaux concepts en physique

Posté par
Rodrigore : Segment glissant [Besoin d'explications] 12-12-06 à 18:44

Ca va etre difficile à te l'expliquer car c'est une suite de calcul...

Posté par
infophilere : Segment glissant [Besoin d'explications] 12-12-06 à 19:06

Ok

Mais je ne suis pas très patient, donc il faut que je trouve le moyen de comprendre cette équation. Je demanderais à mes profs demain, voir s'il y a une issue de secours niveau terminale

En attendant je te remercie

Posté par
Rodrigore : Segment glissant [Besoin d'explications] 12-12-06 à 19:16

En fait cette équation exprime simplement que pour un solide on ne peut pas tenir compte que que moment du centre de masse. Il ne faut pas oublier que le solide à un moment barycentrique. En gros on ne peut pas remplacer un solide par son barycentre affecté de tout sa masse et faire de la méca du point, ça marche pas...Il y a des termes correctifs

Posté par
infophilere : Segment glissant [Besoin d'explications] 12-12-06 à 19:20

Oui en fait c'était mon idée première, avec un logiciel qui permet de réaliser des figures dynamiques, j'ai visualisé la courbe par le milieu du segment. Et la courbe obtenue n'a pas exactement la même forme que la courbe d'équation déterminée.

Posté par
caylusre : Segment glissant [Besoin d'explications] 12-12-06 à 19:59

Bonsoir Infophile,

[sans vouloir intervenir dans la discussion]

Comme c'est bientôt Noël,
voici une petite astroïde réalisée avec Cabri(lieu de segment)

Segment glissant [Besoin d\'explications]

Posté par
infophilere : Segment glissant [Besoin d'explications] 12-12-06 à 20:02

Magnifique caylus

Tu devrais l'afficher dans ce topic en y mettant l'équation Concours de graphiques !

Posté par
infophilere : Segment glissant [Besoin d'explications] 13-12-06 à 12:56

"Up"

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Segment glissant [Besoin d'explications] 13-12-06 à 14:16

Segment glissant [Besoin d\'explications]

X²+Y² = L²

Equation de d: y = -(Y/X).x + y

d : y = -[(V(L²-X²))/X].x + V(L²-X²) (Pour X dans [0 ; L])

Pour un x donné, quelle est la valeur de X qui rend y max ?
Pour le trouver:

\frac{\delta y}{\delta x} = \frac{\frac{X^2}{\sqrt{L^2-X^2}}+\sqrt{L^2-X^2}}{X^2}.x - \frac{X}{\sqrt{L^2-X^2}}

\frac{\delta y}{\delta x} =-\frac{-X^2-L^2+X^2}{X^2\sqrt{L^2-X^2}}.x - \frac{X}{\sqrt{L^2-X^2}}

\frac{\delta y}{\delta x} = \frac{L^2.x-X^3}{X^2\sqrt{L^2-X^2}}

y est max pour \frac{\delta y}{\delta x}  = 0 , soit pour X = \sqrt[3]{L^2.x}

La courbe cherchée a donc pour équation:

y = \frac{\sqrt{L^2-(L^2x)^{\frac{2}{3}}}}{\sqrt[3]{L^2.x}}.x + \sqrt{L^2 - (L^2.x)^{\frac{2}{3}}}

et en trifouillant cette équation, on arrive à :

y = L(1 - (\frac{x}{L})^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}}

Vu ma paresse légendaire, je n'ai pas fait la transformation pour passer de l'avant dernière expression à la dernière, je me suis contenté de les mettre toutes 2 sur Excel et constaté qu'elles étaient bien équivalentes.
-----
Sauf distraction.  

Posté par
infophilere : Segment glissant [Besoin d'explications] 13-12-06 à 14:18

Oh merci J-P

Je vais lire tout ça en fin d'après-midi, et je verrais si des points posent problèmes. Encore merci d'avoir pris le temps de regarder ce topic

Posté par
infophilere : Segment glissant [Besoin d'explications] 13-12-06 à 14:24

J'ai compris les calculs, mis à part :

Citation :

Pour un x donné, quelle est la valeur de X qui rend y max ?


Merci

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Segment glissant [Besoin d'explications] 13-12-06 à 14:45

Il y a une infinité de droites d
(Une pour tchaque valeur valeur réelle de X dans [0 ; L])

Pour une abscisse donnée x = xo, le but est de voir quelle valeur de X rendra y maximum, et puis de calculer la valeur yo de ce  y max.

Le point de coordonnées(xo, yo) est un point de la courbe cherchée.

(En fait, on cherche quelle est la droite d qui, pour une abscisse donnée, passe par une ordonnée maximum)

En cours de calcul, on trouve une relation qui lie yo à xo (avant dernière expression) et donc en remplaçant xo par x et yo par y, on a l'équation de la courbe cherchée (en limitant x dans [0 ; L])

----
Est-ce clair ?

Posté par
infophilere : Segment glissant [Besoin d'explications] 13-12-06 à 14:50

C'est très clair !

Merci beaucoup (et un de plus dans "mes favoris" )

Bonne journée J-P !

Posté par
infophilere : Segment glissant [Besoin d'explications] 13-12-06 à 16:04

Je ne parviens pas à aboutir au résultat d'alfred15 à partir de celui de J-P, un coup de main ?

y%20=-%20\frac{\sqrt{L^2-(L^2x)^{\frac{2}{3}}}}{\sqrt[3]{L^2.x}}.x%20+%20\sqrt{L^2%20-%20(L^2.x)^{\frac{2}{3}}}

y=\sqrt{L^2-(L^2x)^{\frac{2}{3}}}(1-\frac{x}{\sqrt[3]{L^2.x}})

y=\sqrt{L^2-(L^2)^{\frac{2}{3}}.x^{\frac{2}{3}}}(1-\frac{x}{\sqrt[3]{L^2.x}})

y=\sqrt{L^2(1-(L^2)^{-\frac{1}{3}}.x^{\frac{2}{3}})}(1-\frac{x}{\sqrt[3]{L^2.x}})

y=L\sqrt{1-(L^2)^{-\frac{1}{3}}.x^{\frac{2}{3}}}(1-\frac{x}{\sqrt[3]{L^2.x}})

\vdots

%20y%20=%20L(1%20-%20(\frac{x}{L})^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}}

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Segment glissant [Besoin d'explications] 13-12-06 à 16:33

y = -\frac{\sqrt{L^2-(L^2x)^{\frac{2}{3}}}}{\sqrt[3]{L^2.x}}.x + \sqrt{L^2 - (L^2.x)^{\frac{2}{3}}}

y = -\frac{\sqrt{L^2-L^{\frac{4}{3}}.x^{\frac{2}{3}}}}{L^{\frac{2}{3}}.x^{\frac{1}{3}}}.x + \sqrt{L^2-L^{\frac{4}{3}}x^{\frac{2}{3}}}

y = \sqrt{L^2-L^{\frac{4}{3}}x^{\frac{2}{3}}}.(1 - \frac{x}{L^{\frac{2}{3}}x^{\frac{1}{3}}})

y = L\sqrt{1-L^{-\frac{2}{3}}x^{\frac{2}{3}}}. (1 - (\frac{x}{L})^{\frac{2}{3}})

y = L\sqrt{1-(\frac{x}{L})^{\frac{2}{3}}}.(1 - (\frac{x}{L})^{\frac{2}{3}})

y = L.[1-(\frac{x}{L})^{\frac{2}{3}}]^{\frac{3}{2}}

Posté par
infophilere : Segment glissant [Besoin d'explications] 13-12-06 à 16:40

Génial

Encore merci !

Autre question : Est-il possible d'exprimer l'aire sous la courbe en fonction de L ?

PS : Je n'ai pas encore vu les intégrales, du moins pas en cours (et oui je sais J-P, on ne sait pas où on va mais on y va )

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Segment glissant [Besoin d'explications] 13-12-06 à 17:12

Sans intégrale, c'est compromis.

Et avec, il faut trouver une primitive de la fonction.

Mais en trichant un peu :

Aire = L.\int_0^L\ (1-(\frac{x}{L})^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}}\ dx

Poser x/L = t --> dx = L.dt

Aire = L^2.\int_0^1\ (1-t^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}}\ dt

Et en effectuant (sacrilège pour un matheux, mais je n'en fais pas partie) \int_0^1\ (1-t^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}}\ dt à la calculette, on trouve 0,3 (à rien près)

--> Aire\ \simeq 0,3.L^2

Mais ce n'est probablement la manière que tu attendais.
-----

Posté par
infophilere : Segment glissant [Besoin d'explications] 13-12-06 à 17:19

Génial

Merci pour tout


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !