Bonjour Titi

S'il n'y a aucune faute de frappe, je ne dirais qu'une chose : pour qu'une série converge, que doit nécessairement vérifier le terme général.

Kaiser

Bonjour,

Tu dois connaitre une condition nécéessaire sur le terme général d'une série pour qu'elle converge.

Salut Kaiser

Salut Rouliane (et bonne année ! )

Salut,

Rapidement car moi aussi je suis entrain de plancher sur des exos de séries...

Peut-être faut-il reconnaitre :

comme étant la formule pour simplifier la somme :



C'est juste une idée

@+

Bonne année Kaiser
Je vois quej'ai été encore trop lent une fois de plus

Rouliane>
puisea> Salut (et bonne année à toi aussi). En fait, c'est plus bête que ça !

Kaiser

Salut Kaiser (ca faisait un petit moment )

Bonne année à toi (comme à Rouliane et les autres )

Euh la normalité ne doit pas être au rendez-vous

Au risque de paraitre idiot, je ne vois pas quoi répondre à la question :

Il faut que Un tende vers 0 ( regarde la contraposée de la propriété que tu as démontré dans ton message, Puisea )

Effectivement...

Heureusement que j'ai mis "Au risque de paraitre idiot" !!

Merci Rouliane.

>> Kaiser, cela tend vers 0

puisea> donc on a bien le résultat voulu (celui donné précédemment par Rouliane).

Kaiser

C'est encore moi

Donc pour résumer : pour qu'une série converge, que doit nécessairement vérifier le terme général => Un tend vers 0.

Mais y a-t-il une condition nécessaire et suffisante ? (juste par curiosité)

Atendez que je comprenne bien vous etes en train de dire que si S_n+1-S_n converge vers 0 alors S_n converge?
J'avoue ne pas trés bien comprendre.

puisea> du moins, pas à ma connaissance !
Titi de la TS3> c'est l'inverse que l'on a dit !

Kaiser

Alors ou voulez-vous en venir avec S_n+1-S_n?

Titi de la TS3> .

Kaiser

Oki, merci Kaiser.

Désolé d'avoir occupé ton post Titi de la TS3.

@+

Pas de probleme, j'en suis trés honoré.

puisea>

Certe S_n+1-S_n= U_n+1 Mais pourquoi S_n converge? J'aurai pensé faire des groupes de Cauchy pour résoudre le probleme....

Deux petites secondes : Pour toi, c'est mon exemple ou alors ça concerne ton exo uniquement ?

Kaiser

Euh mon exercice uniquement. mais si aprés tu peux expliquer un peu plus ton exemple  cela ne me derange pas, si cela peux me donner une methode c'est pas de refus.

OK !
Dans ton cours, tu as dû voir que si une série converge, alors son terme général tend vers 0 ? (c'est justement ce que j'essayais d'expliquer dans mon exemple).

Kaiser

Oui ceci resulte du critere de Cauchy.

Mais ici c'est S_n que je doit montrer convergente.

C'est plus bête que ça.
Dans ce cas, je reprends ce que je disais !
Je reprends les notations de mon message de 15h31.

Si la série converge, cela vaut dire qu'il existe une constante l telle que
On a donc :

d'où

Or , donc tend vers 0.

Kaiser

Justement, la série de ton exercice n'est pas convergente car ne tend pas vers 0 (on utilise une contraposée).

Kaiser

Mais c'est pas evident de montrer que u_n ne tend pas vers 0

Considère la valeur absolue !

kaiser

bonjour et bonne année.

comme cela a été dit quelques réponses plus haut, si un tend vers 0 alors la série converge. ok

je voudrais savoir si, si un ne tend pas vers 0, si l'on peut conclure que la série diverge.

j'aimerais aussi comprendre le théoreme de (n^alpha)Un qu'on utilise pr étudier la nature des séries.

Pouvez vous m'aider svp?

Bonjour Matias et bonne année

Salut,

oui la réciproque est fausse, exemple : Un = 1/n

ok je ne comprend alors pas pourquoi dans mon cour j'ai l'exemple suivant:

eturier la nature de la série de terme général Un= ( 1 + 1/n ) ^n

avec comme corrigé: "on a vu que (1 + 1/n ) ^n est équivalent a exp

donc la série diverge.

Si je comprend bien le prof s'est servi du fait que Un tend vers exp, qui est différent de 0, donc la série diverge.
Pourtant on vient de voir que la réciproque a cette propriété : "De même si la série diverge, c'est que son terme général Un ne tend pas vers 0. " est fausse !!

ya un truc que je comprend pas!

Re Kaiser,

Y a-t-il alors une/des condition(s) sur le terme général pour être sûr que la série diverge ?

Je voudrais bien caler les choses

Je dirais que c'est au cas par cas.
Deux de choses l'une :
1) soit le terme général ne tend pas vers 0 auquel cas c'est fini.
2) soit le terme général tend vers 0 et là, on n'a simplement des conditions suffisantes.
Par exemple, s'il est de signe constant (par exemple positif) on peut le comparer au terme général d'un série convergente du genre Riemann, Bertrand (je en sais pas si ça te dit grand chose vu que tu n'as pas encore vraiment vu les séries).
Il existe d'autres critères que tu verras en cours mais encore une fois, ce n'est encore que des conditions suffisantes.
Parfois, on peut aussi faire un développement asymptotique du terme général.
Sinon, la seule condition nécessaire et suffisante à laquelle on pourrait penser est le critère de Cauchy.
En effet, pour une série numérique de terme général , on peut estimer des tranches de cauchy. Au cas où tu ne connaitrais pas la terme, ce sont des quantités du type .
La série convergera si et seulement si les tranches de Cauchy convergent vers 0 lorsque n tend vers l'infini et ce uniformément en p.
En d'autres termes, il faut et il suffit qu'il existe une suite positive qui tend vers 0 telle que pour tout p, .
Certes, c'est une condition nécessaire et suffisante mais pour peu que le terme général soit vraiment très moche, cette CNS peut paraître inexploitable.
Ai-je répondu à ta question ?

Kaiser

Matias> oui c'est suffisant mais bien sûr, ce n'est pas nécessaire.

Kaiser

Merci pour cette réponse complète Kaiser, il y a quelques petites choses que je ne connais pas comme tu le supposais. Par exemple, je n'ai fais qu'apercevoir ce qu'on appelle suites de Cauchy.

Est-ce qu'on pourrait essayer sur un exemple... j'en ai pris un au hasard :

Il faut démontrer que la série de terme général :



diverge. A l'évidence le terme général tend vers 0. N'ayant jamais utilisé les tranches de Cauchy, je ne vois pas trop quelle méthode utiliser ?

Ici, il suffit de prendre un équivalent.

Kaiser

Et bien l'équivalent le plus immédiat est l'inverse de la fraction.

si on a deux suites équivalentes, leurs séries sont équivalentes ?

Oula c'est pas simple tout ca !

Pour l'équivalent, il faut oublier ce que j'ai dit.

Sinon comment ca "les restes" ?

Sinon comment trouver un équivalent à la suite u ? Y a-t-il une méthode ou des astuces autres que le tatonnement ?

Donc si j'ai bien compris, si on trouve un équivalent dont la série diverge clairement, notre série initiale diverge ?

Dans l'exemple que j'ai donné, on a comme équivalent, la suite Vn = 1/n ?