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Série de fonction

Posté par
bouri 24-10-23 à 18:03

Bonsoir,

Je cherche l'exercice suivant : déterminer les fonctions f continue sur [0,1] à valeurs réelles telle que f(x) = \displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{f(x^n)}{2^n}

J'avoue que je n'ai aucune idée..
Deja il faut que la série converge
Auriez-vous des pistes à me donner ?

Merci d'avance

Posté par
verdurinre : Série de fonction 24-10-23 à 19:18

Bonsoir,
comme f est continue sur [0;1] son image est un intervalle [a;b].
On prend m=max(|a|;|b|).

On a alors \left\lvert\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{f(x^n)}{2^n}\right\rvert\leqslant\sum_{n=1}^{+\infty} \left\lvert\frac{f(x^n)}{2^n}\right\rvert \leqslant\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{m}{2^n}.

Ce qui garantie la convergence de la série.

Posté par
carpediemre : Série de fonction 24-10-23 à 19:26

salut

et si tu essayais avec une fonction constante ? affine ? et plus généralement polynomiale ?

ce qui donne une première idée ...

Posté par
thetapinch27re : Série de fonction 24-10-23 à 21:57

Bonsoir

Voir ici Fonction

Posté par
bourire : Série de fonction 25-10-23 à 09:41

Bonjour à tous,

Merci pour vos réponses
Alors les fonctions constantes sont solutions, les fonctions polynomes non.

Je  n'arrive pas à comprendre la réponse de GBZM sur l'autre page..
Soit \epsilon >0, m = sup\left\{ y \in [0,1], \forall x \in [0,y], \vert f(x)-f(0) \leq \epsilon \right\}
On suppose m<1 donc si  x \in [0, \sqrt{m}], x^{n+1} \in [0,m]

Je ne vois pas pourquoi \vert f(x)-f(0) \leq \epsilon ?
Et où utilise-t-on l'égalité ?

Merci d'avance


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