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Série(entiere?) 2

Posté par
kaiser Moderateur 22-02-07 à 00:49

Suite du topic précédent : Série(entiere?)

Kaiser

Posté par
Cauchyre : Série(entiere?) 2 22-02-07 à 00:54

Tu bloques ou exactement?

Posté par
robby3Série(entiere?) 2 22-02-07 à 00:56

Merci Kaiser!!
je remet ici entre autre l'une des questions qu'il reste,j'y réfléchirais demain:
Montrer que : ( à l'aide du théoreme d'Abel)
\red \fbox{\Bigsum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n+1}.(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+...+\frac{1}{2n+1})=\frac{\pi^2}{16}}
voila le probleme c'est que d'habitude avec Abel on a un x^n quelque part et la je le vois pas bien...??
voici un lien ou le theoreme d'Abel est énoncé clairement:
Merci d'avance.
Bonne nuit ou bon début de journée c'est comme vous voulez

Posté par
robby3Série(entiere?) 2 22-02-07 à 12:22

Re,en fait aprés avoir relu ce que j'ai fait avec Kaiser hier,voici la question reformulée:
Montrer que:
\red \fbox{\Bigsum_{n=0}^{\infty} c_n=\frac{\pi^2}{4}}
Et ceci selon moi d'aprés ce que j'ai fait sur le theorme d'Abel avec Cauchy dans un post ulterieur c'est:
\Bigsum_{n=0}^{\infty}c_n=\lim_{x\to 1^-} \Bigsum_{n=0}^{\infty} c_n.x^n
Alors je sais pas si ça peut aider...

Posté par
robby3Série(entiere?) 2 22-02-07 à 13:28

(petite erreur c'est\frac{\pi^2}{16}...)

Posté par
robby3Série(entiere?) 2 22-02-07 à 13:41

Arf çayé je crois que j'ai un truc
Dans l'exercice que j'ai fais avec Cauchy ici: Série(pas du tout facile)et notamment mon message de 16:49...on a en fait le meme probleme.Je m'explique:
on a montré que[c_n]_nconverge,comme c_n=\Bigsum_{k=0}^n a_n.a_{n-k} si l'on désigne par C la somme de la série [c_n]_nalors on a automatiquement C=A.A...or on a montré la: Série(entiere?) que A=\frac{\pi}{4}d'ou le résultat:
\blue \fbox{C=\Bigsum_{n=0}^{\infty}c_n=A.A=\frac{\pi^2}{16}}
c'est pas faux ceci n'est-ce pas??

Posté par
robby3Série(entiere?) 2 22-02-07 à 14:39

euhh j'ai encore une petite question
Est-ce qu'on amontré que la suite(|c_n|) était décroissante? si oui ou? et sinon est-ce que quelqu'un a une idée parce que la méthode c_n+1-c_n ne m'enchante guere vu la tete de c_n...
Merci encore.

Posté par
kaiser Moderateurre : Série(entiere?) 2 22-02-07 à 14:42

Bonjour robby

Pour ta réponse de 13h14, c'est OK car lorsque |x| < 1 on a affaire au produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes donc ça converge et la somme est égale au produit.
Ensuite, il suffit de faire tendre x vers 1 pour trouver le bon résultat.

Kaiser

Posté par
robby3re : Série(entiere?) 2 22-02-07 à 14:44

ok Kaiser,j'avais juste oublié la petite remarque trés importante x dans]-1,1[.
Une idée pour la décroissance??

Posté par
kaiser Moderateurre : Série(entiere?) 2 22-02-07 à 14:48

À mon avis, on n'a pas trop le choix : il faut étudier le signe de \Large{|c_{n+1}|-|c_{n}|}

Kaiser

Posté par
robby3re : Série(entiere?) 2 22-02-07 à 14:56

lol bon allez je suis parti alors!!
\rm |c_n|=\frac{1}{n+1}.\Bigsum_{k=0}^n \frac{1}{2k+1}
de meme:
\rm |c_{n+1}|=\frac{1}{n+2}.\Bigsum_{k=0}^{n+1}\frac{1}{2k+3}


On a alors:
|c_{n+1}|-|c_n|=(\frac{1}{n+2}.\Bigsum_{k=0}^{n+1}\frac{1}{2k+3})-(\frac{1}{n+1}.\Bigsum_{k=0}^n \frac{1}{2k+1})
euhh une idée pour arranger ce truc??

Posté par
kaiser Moderateurre : Série(entiere?) 2 22-02-07 à 15:03

Pourquoi 2k+3 ?

Kaiser

Posté par
robby3re : Série(entiere?) 2 22-02-07 à 15:12

ahh oué,j'ai buggé la!!

on a plutot,ça:
|c_{n+1}|-|c_n|=\frac{1}{n+2}\Bigsum_{k=0}^{n+1} \frac{1}{2k+1}-\frac{1}{n+1}.\Bigsum_{k=0}^n\frac{1}{2k+1}

\rm soit: (\Bigsum_{k=0}^n\frac{1}{2k+1}).(\frac{-1}{(n+1)(n+2)})+\frac{1}{n+2}.\frac{1}{2n+3}
euhh je suis pas ur de ma factorisation??

Posté par
robby3re : Série(entiere?) 2 22-02-07 à 15:32

en fait si ma factorisation me semble bien mais je n'arrive pas à conclure

Posté par
kaiser Moderateurre : Série(entiere?) 2 22-02-07 à 15:42

si, c'est correct mais factorise encore par \Large{\frac{1}{n+2}}.

Kaiser

Posté par
robby3re : Série(entiere?) 2 22-02-07 à 15:48

ahh oui!!ok d'accord:

\frac{1}{n+2}.[\Bigsum_{k=0}^n\frac{1}{2k+1}.\frac{-1}{n+1}+\frac{1}{n+3}]


\rm \frac{1}{n+2} > 0 et \frac{-1}{n+1}<\frac{1}{n+3}...c'est dans cette idée la??

Posté par
kaiser Moderateurre : Série(entiere?) 2 22-02-07 à 15:52

attention tout de même : on doit comparer toute la somme à \Large{\frac{1}{n+3}}.

Kaiser

Posté par
robby3re : Série(entiere?) 2 22-02-07 à 16:01

oui justement je sais pas si j'ai le droit de dire que:
\Bigsum_{k=0}^n\frac{1}{2k+1}.\frac{-1}{n+1}<\frac{1}{n+3}
comme ça directement??

Posté par
kaiser Moderateurre : Série(entiere?) 2 22-02-07 à 16:07

si, c'est vrai car le truc de gauche est négatif alors que le truc de droite est positif mais ça ne t'avancerait à rien.

Kaiser

Posté par
robby3re : Série(entiere?) 2 22-02-07 à 16:13

ça ne m'avancerais à rien?!...il faut montrer cette inégalité avec -1/n+3 non? ce serait déja mieu??

Posté par
kaiser Moderateurre : Série(entiere?) 2 22-02-07 à 16:15

oui, ce serait déjà mieux !

Kaiser

Posté par
robby3re : Série(entiere?) 2 22-02-07 à 16:23

bon...j'appelle C la somme...\rm \frac{1}{n+1}>\frac{1}{n+3} donc \frac{-1}{n+1}<\frac{-1}{n+3} puis C.\frac{-1}{n+1}<C.\frac{-1}{n+3}<\frac{-1}{n+3}
ça c'est mieux non??

Posté par
kaiser Moderateurre : Série(entiere?) 2 22-02-07 à 16:30

En fait, j'ai zappé un truc : c'est 2n+3 et non pas n+3.

Kaiser

Posté par
robby3re : Série(entiere?) 2 22-02-07 à 16:33

oui effectivement...mais l'inégalité est toujours vrai meme avec 1/2n+3?? non?...en tout cas je pense bien que oui...donc c'est bon??

Posté par
kaiser Moderateurre : Série(entiere?) 2 22-02-07 à 16:37

Je ne comprends pas comment tu obtiens la dernière inégalité : on n'a pas C < 1

Kaiser

Posté par
robby3re : Série(entiere?) 2 22-02-07 à 16:39

oui c'est vrai mais sinon,je sais pas!

Posté par
kaiser Moderateurre : Série(entiere?) 2 22-02-07 à 16:44

Il faut majorer \Large{\frac{1}{2n+3}-\frac{1}{n+1}\bigsum_{k=0}^{n}\frac{1}{2k+1}} par un truc négatif.

Il faut donc minorer la somme.

Kaiser

Posté par
robby3re : Série(entiere?) 2 22-02-07 à 16:51

mais je minore la somme??
cette somme est >1...

Posté par
kaiser Moderateurre : Série(entiere?) 2 22-02-07 à 16:52

Effectue une minoration moins brutale !

Kaiser

Posté par
robby3re : Série(entiere?) 2 22-02-07 à 16:54

bah je sais pas ...1/2n+1 ??

Posté par
kaiser Moderateurre : Série(entiere?) 2 22-02-07 à 16:58

En fait, chaque terme de la somme est minoré par ça.

Kaiser

Posté par
robby3re : Série(entiere?) 2 22-02-07 à 17:00

oui c'est vrai mais...alors c'est bon ça? sion je vois pas...

Posté par
kaiser Moderateurre : Série(entiere?) 2 22-02-07 à 17:01

Du coup, par quoi tu peux minorer la somme.

Kaiser

Posté par
robby3re : Série(entiere?) 2 22-02-07 à 17:04

bah par grand hasard...\Bigsum_{k=0}^n \frac{1}{2k+1}\le \frac{n}{2n+1}??

Posté par
kaiser Moderateurre : Série(entiere?) 2 22-02-07 à 17:06

On a dit minorer !

Kaiser

Posté par
robby3re : Série(entiere?) 2 22-02-07 à 17:10

pardon superieur ou égale...on a donc:
\frac{-1}{n+1}.\Bigsum_{k=0}^n\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2n+3} \le \frac{-n.(2n+3)}{(2n+1)(n+1)(2n+3)}?? c'est donc ça??

Posté par
kaiser Moderateurre : Série(entiere?) 2 22-02-07 à 17:11

la somme contient n+1 termes, pas n.

Kaiser

Posté par
robby3re : Série(entiere?) 2 22-02-07 à 17:11

attends deux minutes j'ai oublier +(2n+1)(n+1) au numérateur...

Posté par
robby3re : Série(entiere?) 2 22-02-07 à 17:14

euhh donc c'est ça:
\frac{1}{2n+3}-\frac{1}{n+1}.\Bigsum_{k=0}^n\frac{1}{2k+1}< \frac{-(n+1)+(2n+1)(n+1)}{(2n+1)(n+1)(2n+3)}???

Posté par
kaiser Moderateurre : Série(entiere?) 2 22-02-07 à 17:25

euh, tu as oublié un facteur 2n+3 en réduisant au même dénominateur.
Mais sinon, je te conseille de ne pas faire ça.

Par quoi du minores la somme ?

Kaiser

Posté par
robby3re : Série(entiere?) 2 22-02-07 à 17:35

bon... je minore la somme par n/(2n+1)...??

Posté par
kaiser Moderateurre : Série(entiere?) 2 22-02-07 à 17:37

Non, on avait dit n+1 termes donc par \Large{\frac{n+1}{2n+1}}.

Kaiser

Posté par
robby3re : Série(entiere?) 2 22-02-07 à 17:38

ahh oui c'est vrai...bon alors on minore la somme par (n+1)/(2n+1).Je te suis...

Posté par
kaiser Moderateurre : Série(entiere?) 2 22-02-07 à 17:41

et donc par quoi majore-t-on \Large{\frac{1}{2n+3}-\frac{1}{n+1}\bigsum_{k=0}^{n}\frac{1}{2k+1}} ?

Kaiser

Posté par
robby3re : Série(entiere?) 2 22-02-07 à 17:47

et bien ce n'est pas ce que j'ai marqué tout à l'heure??
\frac{1}{2n+3}-\frac{1}{n+1}.\Bigsum_{k=0}^n\frac{1}{2k+1} \le \frac{(-n-1)(2n+3)+(2n+1)(n+1)}{(2n+1)(n+1)(2n+3)}=\frac{-2n-2}{(2n+1)(n+1)(2n+3)}\le 0
la est-ce ça??

Posté par
kaiser Moderateurre : Série(entiere?) 2 22-02-07 à 17:51

non ce n'était pas ce que tu as écris (il manquait le 2n+3 du numérateur).

De plus, je t'avais conseillé de ne pas réduire au même dénominateur. C'est inutile.
Sinon, c'est correct.

Kaiser

Posté par
robby3re : Série(entiere?) 2 22-02-07 à 17:55

OUFFFFFFFF!!
Merci bien Kaiser,on y est arrivé!
Bien bah je crois que je vais m'arréter la pour les séries...ça fait 3 jours la,j'en peux plus ,je vais laisser reposer tout ça,pour que ça décante...
Je vais faire de l'algebre pour me décontracter un peu

Posté par
kaiser Moderateurre : Série(entiere?) 2 22-02-07 à 17:57

oui mais on n'a pas terminé l'exo il me semble, non ?
Il reste d'autres questions.

Kaiser

Posté par
robby3re : Série(entiere?) 2 22-02-07 à 17:59

ahh bon il reste des questions??
J'ai fait la 2)a)b) donc ça c'est réglé...euh non je crois bien que c'est fini la...non?

Posté par
kaiser Moderateurre : Série(entiere?) 2 22-02-07 à 18:01

au temps pour moi !

Kaiser

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