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Série(entiere?)

Posté par
robby3 21-02-07 à 15:24

Bonjour  àtous,encore des difficultés avec les séries mais des difficultés différentes,voici l'exercice,je posterais ce que j'ai fais aprés:
1-a)Etudier la convergence de la série[a_n=\frac{(-1)^n}{2n+1}]_{n>0}
b)Justifier l'identité:
\frac{1}{1+x^2}=\Bigsum_{k=0}^n(-1)^k.x^{2k}+(-1)^n.\frac{x^{2n+2}}{1+x^2}pour tout x dans R.
Montrer que:0 \le \Bigint_{0}^{1}(\frac{x^{2n+2}}{1+x^2}) dx \le \frac{1}{2n+3}
En deduire la valeur de \Bigsum_{n>0} a_n

c)On note [c_n]_nla série produit de Cauchy de [a_n]_npar elle meme.Quelle est la nature de[|c_n|]_n?.Vérifier que (|c_n|)_nest une suite décroissante.

Sachant qu'il existe \gamma\in ]0,1[tel que:\Bigsum_{k=1}^n \frac{1}{k}=log(n)+\gamma+o(1)montrer que la suite (c_n) tend vers 0.En déduire que[c_n]_nconverge et établir que:
\Bigsum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n+1}.(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+...+\frac{1}{2n+1})=\frac{(\pi)^2}{16}

2-
a) a et b étant des constantes strictement positives,étudier la convergence des séries de termes généraux:
a_n=\frac{(-1)^n}{(n+1)^a}etb_n=\frac{(-1)^n}{(n+1)^b}
b)On introduit leur série produit [c_n].Etablir que:
|c_n| \ge \frac{1}{(n+1)^b}.\Bigsum_{0}^n \frac{1}{(k+1)^a}pour tout n>=0
Et en deduire que [c_n] ne converge pas si a+b=<1.

Posté par
robby3Série(entiere?) 21-02-07 à 15:28

Re,je vous dis maintenant ce que j'ai fait:
1-a)
1-b) tout sauf en deduire la valeur de la somme de a_n.
le c) je n'arrive pas à montrer que la suite(c_n)->0 avec l'indication qu'on me donne,en fait je vois pas du tout à quoi elle sert.Le en déduire pareil,je vois pas trop,je pense qu'il faut se servir du theoreme d'Abel que j'ai redémontrer avec Cauchy dans un post ulterieur...
Pour le 2-a)ok
b)l'inégalité d'accord mais le en déduire,je vois pas...
Merci d'avance de vos indications...

Posté par
robby3Série(entiere?) 21-02-07 à 15:30

En fait pour le en déduire,je pense qu'il faut intégrer en tre 0 et 1 la relation de départ et montrer que la somme de a_n =Pi/4...mais j'arrive pas...Je sais montrer que l'intégrale de 1/(1+x²) est pi/4 mais aprés??

Posté par
kaiser Moderateurre : Série(entiere?) 21-02-07 à 15:31

Bonjour robby

Pour la 1), il y a du \Large{(-1)^{n}} donc ça doit faire tilt !

Kaiser

Posté par
Cauchyre : Série(entiere?) 21-02-07 à 15:31

Bonjour,

t'en es à ou?

Posté par
Cauchyre : Série(entiere?) 21-02-07 à 15:32

Salut kaiser

Posté par
Cauchyre : Série(entiere?) 21-02-07 à 15:33

Oui il faut intégrer et faire tendre n vers l'infini.

Posté par
kaiser Moderateurre : Série(entiere?) 21-02-07 à 15:33

Salut Cauchy !

Posté par
robby3Série(entiere?) 21-02-07 à 15:34

Salut Kaiser et Cauchy:
Kaiser >oui j'ai fait le 1) il me reste juste le "en déduire...de la sommes des a_n..."

Cauchy > en fait j'ai fait quelques partis de l'exercice mais il me manque quelques trucs:la fin du 1)b)c)et la din du 2)b)
Voila...

Posté par
kaiser Moderateurre : Série(entiere?) 21-02-07 à 15:36

robby > ce que tu as montré te permet te dire que la somme est partielle c'est une intégrale plus quelque chose que tu peux borner donc ...

Kaiser

Posté par
Cauchyre : Série(entiere?) 21-02-07 à 15:38

Petite remarque d'ailleurs si tu connais la série de arctan(x) alors on peut retrouver la somme en appliquant Abel.

Posté par
robby3Série(entiere?) 21-02-07 à 15:39

(oups,petite erreur dans l'énoncé;on a:
\frac{1}{1+x^2}=\Bigsum_{k=0}^n(-1)^k.x^{2k}+(-1)^{n+1} .\frac{x^{2n+2}}{1+x^2})

ahh Kaiser tu veux dire que c'est:
\int_0^{1} \frac{1}{1+x^2} dx+le truc de l'inégalité...?

Posté par
kaiser Moderateurre : Série(entiere?) 21-02-07 à 15:41

oui !

Kaiser

Posté par
robby3Série(entiere?) 21-02-07 à 15:41

justement Cauchy je la connais pas (malheuresement,...enfin on l'a pas vu en cours donc je pense pas que je puisse l'utiliser sinon,l'exercice et cette question est vite plié...)

Posté par
Cauchyre : Série(entiere?) 21-02-07 à 15:42

Oui je disais ca juste comme ca il faut intégrer et utiliser la majoration.

Posté par
robby3Série(entiere?) 21-02-07 à 15:42

ok mais en fait pourquoi cette somme partielle c'est cette integrale la de 1/(1+x²) plus l'integrale qu'on peut bornée...? je comprends pas pourquoi,d'ou ça vient ??

Posté par
kaiser Moderateurre : Série(entiere?) 21-02-07 à 15:44

Regarde ce que tu as écris plus haut :

Citation :
je pense qu'il faut intégrer en tre 0 et 1 la relation de départ et montrer que la somme de a_n =Pi/4


Kaiser

Posté par
robby3re : Série(entiere?) 21-02-07 à 15:46

oui mais c'est parce que je sais d'avance que cette série a pour somme pi/4 et que le seul moyen de le retrouver ce Pi/4 c'était d'intégrer cette relation...mais c'était intuitif,rigoureusement,je sais pas trop pourquoi...

Posté par
kaiser Moderateurre : Série(entiere?) 21-02-07 à 15:47

Tout simplement, tu considères la première relation qu'on te demande de prouver et tu l'intègres entre 0 et 1.

Kaiser

Posté par
robby3re : Série(entiere?) 21-02-07 à 15:52

bon bon ok alors...je cherchais la raison mais si y'en pas ,c'est naturel en fait donc bon ok.

Ahh oui ensuite lorqu'on me parle du gamma et de la somme de la série harmonique...je vois pas du tout ce que ça vient faire la...on a:
c_n=\frac{1}{(2n+1)^2} on voit bien que ça converge vers 0 mais je le vois sans utiliser leur indication...

Posté par
kaiser Moderateurre : Série(entiere?) 21-02-07 à 16:06

Donc finalement c'est bon pour la 1) ?

Kaiser

Posté par
robby3re : Série(entiere?) 21-02-07 à 16:08

oui c'est bon.Merci à toi pour la petit indication

Posté par
kaiser Moderateurre : Série(entiere?) 21-02-07 à 16:12

Tu es sûr que \Large{c_{n}} c'est ce que tu as trouvé : on a dit produit de Cauchy !

Kaiser

Posté par
Cauchyre : Série(entiere?) 21-02-07 à 16:13

C'est louche robby t'as fait une entourloupe la lol

Posté par
robby3re : Série(entiere?) 21-02-07 à 16:17

ohh la boulette!!...

on a:c_n=\Bigsum_{k=0}^n a_k.a_{n-k}=\Bigsum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{2k+1} .\frac{(-1)^{n-k}}{2(n-k)+1}c'est bien ça??

Posté par
kaiser Moderateurre : Série(entiere?) 21-02-07 à 16:18

c'est mieux (enfin tout est relatif, vu la tête de l'expression :D )

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Série(entiere?) 21-02-07 à 16:20

En fin de compte, en faisant les calculs dans mon coin, c'est pas si moche que ça après tout.

Kaiser

Posté par
robby3re : Série(entiere?) 21-02-07 à 16:22

moué c'est un peu horrible à manipuler ce machin,on a donc:
c_n=\frac{(-1)^n}{(2k+1).(2(n-k)+1)}...bon ce machin converge toujours en valeur absolue n'est ce pas?parce que c'est inferieur ou égale à \frac{1}{2n+1}qui est absolument convergent...
Bon faut que je montre que c'est décroissant...

Posté par
kaiser Moderateurre : Série(entiere?) 21-02-07 à 16:24

Pourquoi est-ce toujours inférieur à ce que tu dis ?

Kaiser

Posté par
Cauchyre : Série(entiere?) 21-02-07 à 16:24

Je vous laisse bonne apres midi

Posté par
robby3re : Série(entiere?) 21-02-07 à 16:24

euhh j'ai oublié la somme devant l'expresion...

Posté par
kaiser Moderateurre : Série(entiere?) 21-02-07 à 16:24

à +, Cauchy !

Posté par
robby3re : Série(entiere?) 21-02-07 à 16:26

ok Cauchy Bonne apres midi(allez l'OL ce soir ).

Kaiser> j'ai majorer par le dernier terme de la somme...c'est faux?

Posté par
kaiser Moderateurre : Série(entiere?) 21-02-07 à 16:27

Je repose ma question : pourquoi est-ce inférieur à ce que tu dis ?

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Série(entiere?) 21-02-07 à 16:29

Je ne pense pas !

Kaiser

Posté par
robby3re : Série(entiere?) 21-02-07 à 16:30

eh bien je pensais qu'en valeur absolue ça l'était...le dernier terme pour k=n on a bien 1/(2n+1)  et c'est bien inferieur à ce truc la puisque k<=n...non? je sais pas,je pensais que c'éatit bien juste ce que j'avais écrit mais la tu me fait douté...

Posté par
robby3re : Série(entiere?) 21-02-07 à 16:31

ah bon? bah pourquoi c'est faux?

Posté par
kaiser Moderateurre : Série(entiere?) 21-02-07 à 16:35

mais tu majores une somme dont il y a deux truc bizarres :

1) Es-tu sûr que chaque terme est en valeur absolue majoré par \Large{\frac{1}{2n+1}} ?
2) Même si c'est le cas, il faudrait majorer les n+1 termes par çà et alors tu te retrouverais avec une majoration du type \Large{\frac{n+1}{2n+1}}.

Kaiser

Posté par
robby3re : Série(entiere?) 21-02-07 à 16:38

euhh oui lol je persiste mais en fait on a ça:
c_n=(-1)^n.\Bigsum_{k=0}^n \frac{1}{(2n+1)(2(n-k)+1)}?? c'est quoi qu'il ya de bizarre?

Posté par
kaiser Moderateurre : Série(entiere?) 21-02-07 à 16:39

c'est 2k+1 à la place de 2n+1.

Kaiser

Posté par
robby3re : Série(entiere?) 21-02-07 à 16:40

pardon (-1)^n.\Bigsum_{k=0}^n \frac{1}{(2n+1)(2(n-k)+1)}

Posté par
robby3re : Série(entiere?) 21-02-07 à 16:40

euh oui

Posté par
kaiser Moderateurre : Série(entiere?) 21-02-07 à 16:44

Là, je suis d'accord mais c'est ta majoration qui est un peu bizarre.

Voici ce que je te conseille : essaie de décomposer des cette fraction en éléments simples (considère cette fraction comme une fonction de k).

Kaiser

Posté par
robby3re : Série(entiere?) 21-02-07 à 16:49

euhh décomposer en éléments simples...??la derniere fois que j'ai vu ça c'était en SI pour les trnasformées de laplace ...

Posté par
kaiser Moderateurre : Série(entiere?) 21-02-07 à 16:52

Ah ?!
En gros, cherche \Large{a_{n}} et \Large{b_{n}} tels que \Large{\frac{1}{(2k+1)(2(n-k)+1)}=\frac{a_{n}}{2k+1}+\frac{b_{n}}{2(n-k)+1}}

Kaiser

Posté par
robby3re : Série(entiere?) 21-02-07 à 16:58

ok bon alors j'ai:
1=a_n.2n-2k.a_n+a_n+2b_n.k+b_n=2n.a_n+2k(b_n-a_n)+(a_n+b_n)
Et..?? je suis sur la bonne voie?

Posté par
robby3re : Série(entiere?) 21-02-07 à 17:03

si on considere ça comme une fonction en k...est-ce qu'on a: \rm b_n=a_n puis donc a_n=\frac{1}{2(n+1)}c'est ça ou pas du tout?

Posté par
kaiser Moderateurre : Série(entiere?) 21-02-07 à 17:03

oui !
et donc !

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Série(entiere?) 21-02-07 à 17:04

toutafé !

Kaiser

Posté par
robby3re : Série(entiere?) 21-02-07 à 17:07

ok donc on a:
c_n=(-1)^n.(\Bigsum_{k=0}^n \frac{1}{2(n+1)(2k+1)}+\Bigsum_{k=0}^n \frac{1}{(2(n+1))(2(n-k)+1)}) voila

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