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série entière : rayon de convergence ...

Posté par
lyonnais 03-01-07 à 22:35

Bonjour à tous

Je n'arrive pas à trouver l'équation différentielle dans l'exercice suivant, pourriez-vous m'aider ?

Exercice : Soit la série entière

\Large{\sum (\frac{n!}{1\times 3\times ....\times (2n+1)}.x^{2n+1})}

1) Déterminer son rayon de convergence ( je trouve  R = \sqrt{2} )

2) Déterminer sa somme f : pour cela on cherchera une équation différentielle vérifiée par f ...

Merci d'avance pour votre aide

Posté par
kaiser Moderateurre : série entière : rayon de convergence ... 03-01-07 à 22:46

Salut Romain

Pour la 1), je n'ai pas encore vérifié (je regarde )
Pour la 2), essaie peut-être d'arranger ce qui est dans la somme (c'est juste une idée comme ça).

Kaiser

Posté par
lyonnaisre : série entière : rayon de convergence ... 03-01-07 à 22:48

Salut Kaiser

j'ai essayé mais je ne vois pas du tout ... si tu as un peu de temps !

Posté par
kaiser Moderateurre : série entière : rayon de convergence ... 03-01-07 à 22:50

Déjà, pour la question 1), je viens de terminer : je trouve comme toi (je suppose que tu as utilisé le critère de d'Alembert ?).

Kaiser

Posté par
infophilere : série entière : rayon de convergence ... 03-01-07 à 22:51

Salut romain et Kaiser

Attend je vais t'aider

Non ça ne risque pas c'était juste pour passer le bonjour

Posté par
kaiser Moderateurre : série entière : rayon de convergence ... 03-01-07 à 22:52

salut Kévin !

Posté par
lyonnaisre : série entière : rayon de convergence ... 03-01-07 à 22:55

Ok merci pour la confirmation

Citation :
je suppose que tu as utilisé le critère de d'Alembert ?


Pas exactement puisqu'il y a des "trou" du fait que l'on ai pas xn

J'ai posé :

\Large{V_n=|\frac{n!}{1\times 3\times ....\times (2n+1)}.x^{2n+1}|}

\Large{\lim_{n\to +\infty} \frac{V_{n+1}}{V_n} = \frac{|x|^2}{2}}

...

Pour la 2) il dois y avoir une subtilité mais je ne la vois pas ...

Romain

Posté par
kaiser Moderateurre : série entière : rayon de convergence ... 03-01-07 à 22:59

Dans ce cas, c'est aussi un critère de d'Alembert mais pour les séries tout court.

Pour la 2), je crois avoir une piste mais j'y suis encore : essaie de dériver 2 fois et ensuite bidouille un peu !

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : série entière : rayon de convergence ... 03-01-07 à 23:02

Je viens de terminer et je crois bien que ça marche.
Je revérifie tout de même mes calculs.

Kaiser

Posté par
Cauchyre : série entière : rayon de convergence ... 03-01-07 à 23:03

Bonjour a vous,

juste comme ca le debut du developpement coincide avec le developpement de la tangente.

Posté par
lyonnaisre : série entière : rayon de convergence ... 03-01-07 à 23:12

Salut Kevin !

Merci pour la proposition d'aide mais Kaiser est sur le coup !

Bon je recommence tout, il est illisible mon brouillon, je ne m'y retrouve plus ...

Je vois que Kaiser tu as déjà trouvé la réponse !

Posté par
kaiser Moderateurre : série entière : rayon de convergence ... 03-01-07 à 23:12

Salut Cauchy

Citation :
juste comme ca le debut du developpement coincide avec le developpement de la tangente.


Je viens de revérifer mon équation et de la résoudre et c'est très éloigné de la tangente.
D'ailleurs, je crois que l'on ne connait pas explicitement les coefficients du DSE de la tangente.

Kaiser

Posté par
Cauchyre : série entière : rayon de convergence ... 03-01-07 à 23:16

Oui je sais bien je parlais pour les premiers termes kaiser

Posté par
lyonnaisre : série entière : rayon de convergence ... 03-01-07 à 23:17

je ne vois vraiment pas Kaiser comment bidouiler le tout ...

Posté par
kaiser Moderateurre : série entière : rayon de convergence ... 03-01-07 à 23:19

OK, donc j'avais bien compris !
et quand je disais

Citation :
D'ailleurs, je crois que l'on ne connait pas explicitement les coefficients du DSE de la tangente.


C'était plus ou moins une question dont j'avais plus ou moins la réponse !

Kaiser

Posté par
Cauchyre : série entière : rayon de convergence ... 03-01-07 à 23:21

En suivant ce qu'a dit kaiser pour ma part je trouve qu'en derivant deux fois on tombe sur une série b_nz^(2n+1) ou b_n=2a_n*(n+1)² trouves tu la meme chose ?

Posté par
kaiser Moderateurre : série entière : rayon de convergence ... 03-01-07 à 23:22

Citation :
je ne vois vraiment pas Kaiser comment bidouiler le tout ...


c'est normal : c'est un peu tordu les astuces qu'il faut employer !

Déjà, en dérivant 2 fois, tu te retrouves bien avec quelque chose qui ressemble beaucoup à ce que tu as au départ (effectue d'abord un changement d'indice car le fait de dériver 2 fois enlève un terme).

Kaiser

Posté par
lyonnaisre : série entière : rayon de convergence ... 03-01-07 à 23:23

Citation :
Déjà, en dérivant 2 fois, tu te retrouves bien avec quelque chose qui ressemble beaucoup à ce que tu as au départ


Là on est d'accord !

bien vu pour le changement d'indice ! j'essaie

Posté par
kaiser Moderateurre : série entière : rayon de convergence ... 03-01-07 à 23:26

Cauchy> en voyant tes résultats, je me suis aperçu que je m'était viandé dans mes calculs !
Je recommence !

Kaiser

Posté par
lyonnaisre : série entière : rayon de convergence ... 03-01-07 à 23:27

J'obtiens donc : (pour x dans le domaine de convergence)

\Large{f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} (\frac{n!}{1\times 3\times ....\times (2n+1)}.x^{2n+1})}

\Large{f'(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} (\frac{(n+1)!}{1\times 3\times ....\times (2n+1)}.x^{2n+2})}

\Large{f''(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} (2\frac{(n+1)(n+1)!}{1\times 3\times ....\times (2n+1)}.x^{2n+1})}

sauf erreurs ...

Pour f'' faut-il partir de n = 0 ?

Romain

Posté par
Cauchyre : série entière : rayon de convergence ... 03-01-07 à 23:32

Moi j'obtiens(à verifier hein):

y''=4y+6xy'+2x²y''.

Posté par
lyonnaisre : série entière : rayon de convergence ... 03-01-07 à 23:36

Citation :
Moi j'obtiens (à verifier hein) :

y''= 4y+6xy'+2x²y''


Bon là faut qu'on m'explique parce que j'ai du me tromper dans mes calculs dès le début, car en vérifiant, je trouve que ton équa diff n'est pas vérifiée Cauchy ...

Posté par
kaiser Moderateurre : série entière : rayon de convergence ... 03-01-07 à 23:38

Bon ben on efface tout et on recommence dans la joie et la bonne humeur !

Posté par
lyonnaisre : série entière : rayon de convergence ... 03-01-07 à 23:39

Citation :
Bon ben on efface tout et on recommence dans la joie et la bonne humeur !


Posté par
Cauchyre : série entière : rayon de convergence ... 03-01-07 à 23:42

Tu as retrouvé la bonne équation kaiser?

Posté par
kaiser Moderateurre : série entière : rayon de convergence ... 03-01-07 à 23:44

Toujours pas !
Vu que je m'étais trompé, et bien j'ai tout recommencé (maintenant, il y a un n² qui m'embête).

Kaiser

Posté par
Cauchyre : série entière : rayon de convergence ... 03-01-07 à 23:46

Je me suis trompé c'est je crois:
y''= 2y+6xy'+2x²y''

Posté par
Cauchyre : série entière : rayon de convergence ... 03-01-07 à 23:47

J'ai transformé le n² comme ceci pour ma part n²=n(n-1)+n puis essayé de faire réapparaitre y'' et y' mais bon il y a surement des erreurs

Posté par
lyonnaisre : série entière : rayon de convergence ... 03-01-07 à 23:51

J'aimarais déjà savoir si mes calculs sont bons ...

Avez-vous :

\Large{f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} (\frac{n!}{1\times 3\times ....\times (2n+1)}.x^{2n+1})}

\Large{f'(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} (\frac{(n+1)!}{1\times 3\times ....\times (2n+1)}.x^{2n+2})}

\Large{f''(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} (\frac{2(n+1)^2n!}{1\times 3\times ....\times (2n+1)}.x^{2n+1})}

??

Romain

Posté par
kaiser Moderateurre : série entière : rayon de convergence ... 03-01-07 à 23:52

euh pour moi, la somme commence à 0.

Kaiser

Posté par
Cauchyre : série entière : rayon de convergence ... 03-01-07 à 23:53

Pour ma part j'ai bien ca à f'' mais ca commence à n=0.

Posté par
lyonnaisre : série entière : rayon de convergence ... 03-01-07 à 23:57

La question va (surement) vous paraître bête, mais je ne vois pas pourquoi cela commence à 0 ...

Posté par
kaiser Moderateurre : série entière : rayon de convergence ... 03-01-07 à 23:59

En dérivant 2 fois, on a la somme qui commence à 1 mais en faisant le changement d'indice, la somme débute à 0.

Kaiser

Posté par
Cauchyre : série entière : rayon de convergence ... 03-01-07 à 23:59

Quand tu as changé d'indice tu as posé m=n-1 donc 2m+1=2(n-1)+1=2n-1

Posté par
kaiser Moderateurre : série entière : rayon de convergence ... 04-01-07 à 00:06

Alors ça c'est comique !
Cauchy, je ne trouve mais absolument pas la même chose que toi.

Je trouve que :

\Large{(1-x)f''(x)-(x+2)f'(x)-f(x)=-2}

Qui dit mieux ?
ça sent le viandage à plein nez !

Kaiser

Posté par
Cauchyre : série entière : rayon de convergence ... 04-01-07 à 00:11

Oublie mon equation j'ai dit n'importe quoi.

Posté par
Cauchyre : série entière : rayon de convergence ... 04-01-07 à 00:12

Ils sont un peu bourrins tes exos Romain

Posté par
lyonnaisre : série entière : rayon de convergence ... 04-01-07 à 00:12

Rien que sur ce point tout bête je ne vois toujours pas mon erreur, donc je détails et si vous avez encore le courage, vous me dites où j'ai faux

\bullet \Large{f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} (\frac{n!}{1\times 3\times ....\times (2n+1)}.x^{2n+1})}

\bullet \Large{f'(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} (\frac{n!}{1\times 3\times ....\times (2n-1)}.x^{2n})} = \sum_{n=0}^{+\infty} (\frac{(n+1)!}{1\times 3\times ....\times (2n+1)}.x^{2n+2})

\bullet \Large{f''(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} (\frac{2(n+1)^2.n!}{1\times 3\times ....\times (2n+1)}.x^{2n+1})} = \sum_{n=0}^{+\infty} (\frac{2(n+2)^2.(n+1)!}{1\times 3\times ....\times (2n+3)}.x^{2n+3})

je ne vois pas mon erreur même avec vos remarque (désolé ...)

Et admettons : ensuite quelle technique utilisez-vous ?

Romain

Posté par
kaiser Moderateurre : série entière : rayon de convergence ... 04-01-07 à 00:15

Je vois une première erreur : f (x) ne contient pas de terme constant dons en dérivant une fois, tu dois laisser la somme commencer à 0.

Kaiser

Posté par
lyonnaisre : série entière : rayon de convergence ... 04-01-07 à 00:16

Belle équa diff Kaiser :D

" Qui dit mieux ?" : pour l'instant personne, Cauchy ayant retiré sa réponse

Et moi avec ces foutus indices j'ai un gros problème !

Posté par
Cauchyre : série entière : rayon de convergence ... 04-01-07 à 00:16

Dans f' tu oublies la constante la.

Posté par
kaiser Moderateurre : série entière : rayon de convergence ... 04-01-07 à 00:20

Citation :
Belle équa diff Kaiser


Surtout que je viens de m'apercevoir d'erreurs de signe.
Finalement, je trouve :

\Large{(1-x)f''(x)+(x-2)f'(x)+f(x)=-2}

Et c'est mon dernier mot ! (je vais tout de même vérifier 5 ou 6 fois pour être sûr ! :D )

Kaiser

Posté par
lyonnaisre : série entière : rayon de convergence ... 04-01-07 à 00:24

C'est bon, j'ai enfin compris l'histoire des dérivation

Il m'en aura fallut du temps !

Kaiser >>

Une explication sur ta magnifique trouvaille ? :D

(enfin, si tu as le temps)

Romain

Posté par
kaiser Moderateurre : série entière : rayon de convergence ... 04-01-07 à 00:32

OK , Romain !

Posté par
Cauchyre : série entière : rayon de convergence ... 04-01-07 à 00:35

Je vous laisse dans vos calculs bonne nuit

Posté par
lyonnaisre : série entière : rayon de convergence ... 04-01-07 à 00:37

Bonne nuit Cauchy et merci pour ton aide

Je ne vais pas tarder à aller me coucher moi aussi, je suis totalement claqué, mais j'aimerais connaître le raisonnement avant !!

Posté par
kaiser Moderateurre : série entière : rayon de convergence ... 04-01-07 à 00:43

En dérivant 2 fois, on est d'accord qu'on obtient :

\Large{f''(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}(\frac{2(n+1)^2n!}{1\times 3\times ....\times (2n+1)}.x^{2n+1})}

Ensuite, je dis que 2(n+1)²n!=2(n+1)(n+1)!=2[(n+2)!-(n+1)!] (en disant que n+1=(n+2)-1)
D'où 2(n+1)²n!=(2n+4)(n+1)!-(2n+2)n!

Donc je me retrouve avec les 2 sommes suivantes :

\Large{\sum_{n=0}^{+\infty}(\frac{(2n+4)(n+1)!}{1\times 3\times ....\times (2n+1)}.x^{2n+1})}

et

\Large{\sum_{n=0}^{+\infty}(\frac{(2n+2)n!}{1\times 3\times ....\times (2n+1)}.x^{2n+1})}

Que j'essaie de calculer en reconnaissant des dérivées de f ou alors s'en approchant

Kaiser

P.S : la suite dans le prochain message

Posté par
kaiser Moderateurre : série entière : rayon de convergence ... 04-01-07 à 00:44

Bonne nuit Cauchy !

Posté par
lyonnaisre : série entière : rayon de convergence ... 04-01-07 à 00:44

Merci beaucoup Kaiser ! Je lis ça tout de suite

Posté par
lyonnaisre : série entière : rayon de convergence ... 04-01-07 à 00:46

jusque là je suis ton raisonnement !

PS : ça me gène, ne perd pas trop ton temps ...

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