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Posté par
kaiser Moderateurre : série entière : rayon de convergence ... 04-01-07 à 00:52

Je pose :

\Large{g(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}(\frac{(n+1)!}{1\times 3\times ....\times (2n+3)}.x^{2n+4})=x(f(x)-x)}

et

\Large{h(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}(\frac{n!}{1\times 3\times ....\times (2n+1)}.x^{2n+2})=xf(x)}



Le tout est de "remarquer" que


\Large{g'(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}(\frac{(2n+4)(n+1)!}{1\times%203\times%20....\times%20(2n+1)}.x^{2n+1})}

\Large{h'(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}(\frac{(2n+2)n!}{1\times%203\times%20....\times%20(2n+1)}.x^{2n+1})}

Voilà, voilà (en n'espérant ne pas m'être trompé ).

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : série entière : rayon de convergence ... 04-01-07 à 00:54

Ne t'inquiète surtout pas ! Je connais l'astuce du copier-coller LaTeX (heureusement, parce que j'aurais pas fini sinon )

Posté par
lyonnaisre : série entière : rayon de convergence ... 04-01-07 à 00:55

je lis tout ça ! et je te donne mes impressions

Merci beaucoup en tout cas !

Posté par
kaiser Moderateurre : série entière : rayon de convergence ... 04-01-07 à 01:01

Posté par
lyonnaisre : série entière : rayon de convergence ... 04-01-07 à 01:01

En effet Kaiser, je suis d'accord avec tes calculs

Jolie astuce ! Je vais me coucher car je suis totalement crevé. Je reviens demain après résolution de l'équa diff !

Bonne nuit et merci encore

Romain

Posté par
kaiser Moderateurre : série entière : rayon de convergence ... 04-01-07 à 01:03

Citation :
Je vais me coucher car je suis totalement crevé.


En voilà une idée qu'elle est bonne. Moi aussi, je vais !
Allez, bonne nuit et à demain !

Kaiser

Posté par
lyonnaisre : série entière : rayon de convergence ... 04-01-07 à 01:05

Question qui n'a rien à voir : je cherche un topic dans lequel tu es intervenu que je voulais mettre en favori pour notre prochain cours de math ... mais j'ai perdu le lien.

C'était une intégrale de qqch/(1+xt3) dt il fallait utiliser le DSE de 1/(1+u)

Tu t'en souviens ?

Si jamais en parcourant tes favoris tu trouvais le lien

Parce que je n'arrive pas à le retrouver en utilisant la recherche !

Enfin allez, j'arrête de t'en demander encore et encore !

Bonne nuit

Posté par
kaiser Moderateurre : série entière : rayon de convergence ... 04-01-07 à 01:07

celui-ci ? Fonctions D.S.E

Posté par
lyonnaisre : série entière : rayon de convergence ... 04-01-07 à 10:33

Une bonne nuit de sommeil après je reviens !

Kaiser >>

Je n'arrive pas à retrouver ton equa diff !!

On est d'accord que (pour x dans le domaine de convergence) :

f''(x) = g'(x)-h'(x) = f(x)-x + x(f'(x)-1) - (f(x) + xf'(x))

soit :

f''(x) = -2x

et là il y a un problème !

encore une dois, je ne retrouve pas mon erreur ...

PS : merci pour le lien, c'est exactement celui auquel je pensais ! Je voulais m'entrainer sur ce genre d'exo

Romain

Posté par
kaiser Moderateurre : série entière : rayon de convergence ... 04-01-07 à 11:19

Apparement, ça ne m'a pas réussi de bosser à une heure du matin !
Je me suis encore trompé.
Pour h c'est bon mais il y a un problème avec g : il faut au moin dériver 2 fois g et encore il faudrait modifier des choses.

Kaiser

Posté par
lyonnaisre : série entière : rayon de convergence ... 04-01-07 à 11:22

Salut Kaiser

Je vais essayer de revoir ça alors ...

Si jamais tu trouves quelque chose ...

Posté par
kaiser Moderateurre : série entière : rayon de convergence ... 04-01-07 à 11:30

autre tentative !

Sauf viandage, on aurait :

\Large{g''(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}(\frac{(2n+4)(n+1)!}{1\times 3\times ....\times (2n+1)}.x^{2n+2})=x\sum_{n=0}^{+\infty}(\frac{(2n+4)(n+1)!}{1\times 3\times ....\times (2n+1)}.x^{2n+1})}

Kaiser

Posté par
lyonnaisre : série entière : rayon de convergence ... 04-01-07 à 11:36

pfff avec cette nouvelle expression, j'ai mon f'' qui disparait !

Je reprends le calcul

Posté par
kaiser Moderateurre : série entière : rayon de convergence ... 04-01-07 à 11:37

ô miracle ! On tombe sur une équation du premier ordre (d'ailleurs heureusement car les équations à coefficients variables, euh ...) et celle-ci me paraît cohérente avec la première question.

Kaiser

Posté par
lyonnaisre : série entière : rayon de convergence ... 04-01-07 à 11:41

J'arrive à :

(2-x²)f'(x) - xf(x) = 2

On a pareil ?

PS : j'ai vérifié 20 fois , cette fois ci je crois que c'est bon pour l'expression de g''

!!!!

Posté par
lyonnaisre : série entière : rayon de convergence ... 04-01-07 à 11:41

et le (2-x²) est bien jolie

va y avoir du racine(2) dans le tas :D

Posté par
kaiser Moderateurre : série entière : rayon de convergence ... 04-01-07 à 11:43

J'ai la même chose que toi !
Il ne reste plus qu'à résoudre cette équation et on sera content !

Kaiser

Posté par
lyonnaisre : série entière : rayon de convergence ... 04-01-07 à 11:46

On est d'accord que les x qui nous interessent sont dans l'intervalle :

]-\sqrt{2},\sqrt{2}[  du fait du rayon de convergence de la série

Donc ça nous évite de distinguer plusieurs cas pour résoudre nan ?

Merci beaucoup ! C'est génial comme résultat ! Comme quoi c'est beau les maths

Posté par
kaiser Moderateurre : série entière : rayon de convergence ... 04-01-07 à 11:57

Effectivement, ça évite de distinguer les cas.

Pour la résolution j'avoue avoir utilisé Maple pour calculer une primitive et en le vérifiant par le calcul, je trouve la même chose et du coup je me retrouve en gros avec du arcsinus.

Veux-tu que je te donne mon expression finale ?

Kaiser

Posté par
lyonnaisre : série entière : rayon de convergence ... 04-01-07 à 11:58

Bon déjà pour la solution particulière je trouve :

\Large{y(x) = \frac{\lambda}{\sqrt{2-x^2}}}

Après j'imagine qu'il faut utiliser la méthode de variation de la constante ...

Posté par
kaiser Moderateurre : série entière : rayon de convergence ... 04-01-07 à 11:58

oui !

Posté par
lyonnaisre : série entière : rayon de convergence ... 04-01-07 à 11:59

Je veux bien s'il te plait !!

Je vérifierais ça ce soir parce que je dois y aller.

Si jamais je ne trouve pas pareil que toi, je reposterai !

Merci

Posté par
kaiser Moderateurre : série entière : rayon de convergence ... 04-01-07 à 12:02

Normalement, on devrait trouver :

\Large{f(x)=\frac{x}{2}+\frac{\arcsin(\frac{x}{\sqrt{2}})}{\sqrt{2-x^{2}}}


Ici, on retrouve bien la réponse à la question 1), à savoir le rayon de convergence.

Kaiser

Posté par
lyonnaisre : série entière : rayon de convergence ... 04-01-07 à 12:03

Ok merci Kaiser et donc comme condition initiale tu prends f(0) = 0

(tu me diras normal)

J'essaie ce soir et je te tiens au courant !

Merci beaucoup

Romain

Posté par
lyonnaisre : série entière : rayon de convergence ... 04-01-07 à 12:04

( j'adore le petite édit ni vu ni connu :D )

Posté par
kaiser Moderateurre : série entière : rayon de convergence ... 04-01-07 à 12:05

Mais je t'en prie !
Pour la condition initiale, je prends effectivement f(0)=0.
Remarque : je viens de procéder à une correction sur mon précédent message car je m'étais trompé.

Posté par
infophilere : série entière : rayon de convergence ... 04-01-07 à 12:05

Moi je l'ai vu aussi

Posté par
kaiser Moderateurre : série entière : rayon de convergence ... 04-01-07 à 12:05

Posté par
lyonnaisre : série entière : rayon de convergence ... 04-01-07 à 12:08

Allez j'y vais !

A ce soir

Posté par
kaiser Moderateurre : série entière : rayon de convergence ... 04-01-07 à 12:08

À ce soir !

Posté par
Cauchyre : série entière : rayon de convergence ... 04-01-07 à 15:24

Alors vous en etes venus à bout

Posté par
kaiser Moderateurre : série entière : rayon de convergence ... 04-01-07 à 15:31

oui, enfin ! :D

Kaiser

Posté par
Cauchyre : série entière : rayon de convergence ... 04-01-07 à 15:42

Et beh elle nous a mené la vie dure sa série

Posté par
kaiser Moderateurre : série entière : rayon de convergence ... 04-01-07 à 15:48

Le plus marrant c'est qu'on trouvait à chaque fois un truc différent et à chaque fois aucun de nos résultats ne coïncidaient (du coup, pour savoir qui a bon ...)

Kaiser

Posté par
Cauchyre : série entière : rayon de convergence ... 04-01-07 à 15:52

Pourtant j'avais confiance en ton resultat hier soir vu que j'avais verifié en 0 ca marchait et bien non

Posté par
kaiser Moderateurre : série entière : rayon de convergence ... 04-01-07 à 15:54

Posté par
lyonnaisre : série entière : rayon de convergence ... 04-01-07 à 20:06

C'est encore moi !!

Je ne trouve pas pareil :D (on commence à être habitué!)

Alors :

solution homogène :   \Large{y(x) = \frac{\lambda}{\sqrt{2-x^2}}}

solution particulière : méthode de variation de la constante

je pose  \Large{g(x) = a(x)(2-x^2)^{-1/2}}

g est solution de l'équa diff donc : (2-x²)g'(x) - xg(x) = 2

Soit :

\Large{a'(x) = \frac{2}{\sqrt{2-x^2}}}

d'où :

\Large{a(x) = 2.arcsin(\frac{x}{\sqrt{2}}) + C}

solution générale :

\Large{f(x) = \frac{\lambda +C}{\sqrt{2-x^2}}+\frac{2.arcsin(\frac{x}{\sqrt{2}})}{\sqrt{2-x^2}}}

soit :

\Large{f(x) = \frac{\mu}{\sqrt{2-x^2}}+\frac{2.arcsin(\frac{x}{\sqrt{2}})}{\sqrt{2-x^2}}}

f(0) = 0 d'où :

\Large{\mu =0}

Et donc :

\Large{\fbox{f(x) = \frac{2.arcsin(\frac{x}{\sqrt{2}})}{\sqrt{2-x^2}}}}

Où est l'erreur ?

Romain

Posté par
lyonnaisre : série entière : rayon de convergence ... 04-01-07 à 20:36

Apparement, il semblerait que je ne me soit pas trompé :D

Avec Mathématica :

série entière : rayon de convergence ...

A votre avis ?

Posté par
kaiser Moderateurre : série entière : rayon de convergence ... 04-01-07 à 20:39

Justement, tu t'es trompé.
Je dirais qu'on aurait plutôt \Large{a'(x)=2\sqrt{2-x^2}}

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : série entière : rayon de convergence ... 04-01-07 à 20:41

euh....

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : série entière : rayon de convergence ... 04-01-07 à 20:44

Oublie ce que j'ai dit, c'est bien moi qui me suis planté !
Excuses-moi !

Kaiser

Posté par
lyonnaisre : série entière : rayon de convergence ... 04-01-07 à 20:45

En es-tu sur ?

\Large{g'(x)-\frac{x}{2-x^2}g(x) = \frac{2}{2-x^2}}

\Large{a'(x)(2-x^2)^{-1/2}+\frac{1}{2}.(2x).a(x).(2-x^2)^{-3/2}-x.a(x).(2-x^2)^{-1/2} = \frac{2}{2-x^2}}

\Large{a'(x)(2-x^2)^{-1/2}=\frac{2}{2-x^2}}}

\Large{a'(x)=\frac{2}{\sqrt{2-x^2}}}

Non ?

Romain

Posté par
lyonnaisre : série entière : rayon de convergence ... 04-01-07 à 20:47

Pas de problème Kaiser, vu toute l'aide que tu m'a apportée, il n'y a aucun soucis !

Donc tu confirmes ma réponse finale ?

Posté par
kaiser Moderateurre : série entière : rayon de convergence ... 04-01-07 à 20:55

Oui, je confirme !

Kaiser

Posté par
Cauchyre : série entière : rayon de convergence ... 04-01-07 à 20:56

C'est toujours pas fini ici

Posté par
lyonnaisre : série entière : rayon de convergence ... 04-01-07 à 20:57

Ouffff !!!!

On a réussi Kaiser c'est pas magnifique

Merci beaucoup pour ton aide ! En plus j'ai pu corriger des problèmes (que je ne me connaissais pas) de dérivation sous les sommes !

Et là plus de problème

Merci encore et bonne soirée

Romain

Posté par
kaiser Moderateurre : série entière : rayon de convergence ... 04-01-07 à 21:11

Content d'avoir pu te rendre service !

Kaiser

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