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Posté par
lyonnaisre : Série entière - rayon de convergence - somme ... 01-11-07 à 23:54

Pour la justification de l'interversion limite / somme, c'est bon pas de soucis, donc on sait que :

\Large{\int_{0}^{\pi} \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{cos(nx)}{n^2} dx = 0

Posté par
kaiser Moderateurre : Série entière - rayon de convergence - somme ... 01-11-07 à 23:56

non, l'idée n'est effectivement pas de passer par Fourier mais de remarquer que que la première série est celle obtenue en dérivant cette deuxième série terme à terme (question : a-t-on le droit de faire et pourquoi ?), à un signe près.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Série entière - rayon de convergence - somme ... 01-11-07 à 23:57

je vais être un peu tatillon, pourquoi as-tu le droit d'intervertir ?

Kaiser

Posté par
lyonnaisre : Série entière - rayon de convergence - somme ... 02-11-07 à 00:04

Pour l'intervertion, en notant :

g(n) : x --> cos(nx)/n²

1- chaque g(n) est continu sur [0,pi]

2- sigma(g(n)) converge normalement sur [0,pi] donc converge uniformément sur [0,pi]

car pour tout x dans [0,pi] |g(n)(x)| <= 1/n²  et sigma(1/n²) converge

donc on peut intervertir somme et intégrale

Ton indication ensuite est très bien vue ! :D

J'avais commencé dans l'autre sens. En partant de la première série qui est continu su [0,2pi] (même théorème que précedement) on en déduit la seconde par intégration terme à terme. Cela suffit ?

Par contre, pour intégrer des arctan((1-cos(x))/(sin(x))) ça devient chaud ...

Posté par
kaiser Moderateurre : Série entière - rayon de convergence - somme ... 02-11-07 à 00:10

Citation :
1- chaque g(n) est continu sur [0,pi]


De manière générale, continue par morceaux suffit.


Citation :
on en déduit la seconde par intégration terme à terme. Cela suffit ?


oui, ça suffit, puisqu'il y a convergence uniforme sur [0,1].

Citation :
Par contre, pour intégrer des arctan((1-cos(x))/(sin(x))) ça devient chaud ...


ah mais astuce, ça se simplifie très bien vu que x est dans un certain intervalle bien précis (utilise les formules de trigo de duplication).

Kaiser

Posté par
lyonnaisre : Série entière - rayon de convergence - somme ... 02-11-07 à 00:16

Oui tu as raison Kaiser ( comme souvent :D )

(1-cos(x))/sin(x) = 2sin²(x/2)/(2.cos(x/2).sin(x/2)) = tan(x/2)

Donc on a :

arctan(tan(x/2)) + arctan(1/tan(x))

On doit distinguer les cas suivant les valeurs de x dans [0,2pi] pour simplifier tout ça ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Série entière - rayon de convergence - somme ... 02-11-07 à 00:24

non, mais c'est pas la peine de faire ça :
x/2 est dans l'intervalle \Large{[0,\pi]} donc selon que x est inférieur ou supérieur à \Large{\pi}, tu sais très exactement ce que vaut x/2 à un multiple de \Large{\pi} près.

Kaiser

Posté par
lyonnaisre : Série entière - rayon de convergence - somme ... 02-11-07 à 00:27

Oui mais justement, c'est ce multiple de pi près que je veux trouver ...

Parce que l'on doit bien trouver en simplifiant  pi/2 - x/2

Posté par
lyonnaisre : Série entière - rayon de convergence - somme ... 02-11-07 à 00:31

Si :

0 < x < pi/2

tan(x) > 0  donc  arctan(1/tan(x)) = pi/2 - x

et arctan(tan(x/2)) = x/2  donc au final ça fait :  pi/2 - x/2

pi/2 < x < pi

tan(x) < 0  donc  arctan(1/tan(x)) = -pi/2 - arctan(tan(x)) = -pi/2 - arctan(tan(x-pi)) = -pi/2 - x + pi = -x + pi/2

et arctan(tan(x/2)) = x/2 donc au final ça fait :  pi/2 - x/2

Reste encore les 2 autres cas, je tappe ...

Posté par
kaiser Moderateurre : Série entière - rayon de convergence - somme ... 02-11-07 à 00:33

si x/2 est compris entre 0 et \Large{\frac{\pi}{2}}(strictement car, avec la tangente, il y a un hic) alors arctan(tan(x/2))=x/2.
si x/2 est compris entre \Large{\frac{\pi}{2}} (toujours strictement) et \Large{\pi}(strictement car alors arctan(tan(x/2))=x/2-\pi

Kaiser

Posté par
lyonnaisre : Série entière - rayon de convergence - somme ... 02-11-07 à 00:36

Oui Ok, mais il y a le problème du arctan(1/tan(x)) en même temps, qu'il faut aussi simplifier, ça implique 4 cas non ?

Si :

pi < x < 3pi/2

tan(x) > 0 donc arctan(1/tan(x)) = pi/2 - arctan(tan(x-pi)) = -x + 3pi/2

et arctan(tan(x/2)) = arctan(tan(x/2 - pi)) = x/2 - pi   au final  -x/2 + pi/2

3pi/2 < x < 2pi

...

Donc on retrouve à chaque fois pareil

Posté par
kaiser Moderateurre : Série entière - rayon de convergence - somme ... 02-11-07 à 00:40

oui, c'est vrai, au temps pour moi !
Je l'avais oublié celui là !

ensuite ?

Kaiser

Posté par
lyonnaisre : Série entière - rayon de convergence - somme ... 02-11-07 à 00:40

Et Ok pour la constante après, il suffit d'intégrer pour la trouver, c'est facile, bon ba je crois qu'on a fait le tour qu'est-ce que tu en penses ? :D

Merci beaucoup pour ton aide, j'ai appris pas mal de truc (notament sur la transformation d'Abel)

Posté par
kaiser Moderateurre : Série entière - rayon de convergence - somme ... 02-11-07 à 00:42

Citation :
, bon ba je crois qu'on a fait le tour qu'est-ce que tu en penses ? :D


toutafé !

Citation :
Merci beaucoup pour ton aide, j'ai appris pas mal de truc (notament sur la transformation d'Abel)


Mais je t'en prie !

Kaiser

Posté par
lyonnaisre : Série entière - rayon de convergence - somme ... 02-11-07 à 00:42

Puisqu'on utilise l'aide :

\Large{\int_{0}^{\pi} (K+\frac{x^2}{4}-\frac{\pi.x}{2}) dx = 0

d'où :

\Large{\fbox{K = \frac{\pi^2}{6}}

Posté par
kaiser Moderateurre : Série entière - rayon de convergence - somme ... 02-11-07 à 00:43

OK !

Posté par
lyonnaisre : Série entière - rayon de convergence - somme ... 02-11-07 à 00:43

Passes une bonne soirée, je vais me coucher.

Bonne nuit

Posté par
kaiser Moderateurre : Série entière - rayon de convergence - somme ... 02-11-07 à 00:44

Merci, bonne nuit à toi aussi !
je crois que je vais faire de même !

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Série entière - rayon de convergence - somme ... 02-11-07 à 11:05

re

C'était juste pour corriger deux petites choses :

1) la première est vraiment un détail : dans mon message de 23h22, il faudrait plutôt écrire \Large{||F_{n+p}-F_{n-1}||_{\infty}\leq%20\frac{3M}{n}} (quand je disais que c'était un détail ! )

2) la deuxième est beaucoup plus ennuyeuse qu'un simple détail : dans la dernière question, lorsque l'on réapplique la transformation d'Abel, le M n'est plus le même : il faut qu'il soit indépendant de x et il ne l'était pas avant, car on dans la majoration on a a priori \Large{M=\frac{1}{|\sin(\frac{x}{2})|}}. Il fait donc pouvoir majorer ça par une constante indépendante de x, ce que l'on peut faire car dans l'énoncé, on s'est placé sur un intervalle du type \Large{[a,2\pi-a]} avec \Large{0 < a < 2\pi}.

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Série entière - rayon de convergence - somme ... 02-11-07 à 11:07

(kaiser qui se refait tous les exos dans la nuit, et qui au reveil se rend compte d'un petit pb !)

Posté par
kaiser Moderateurre : Série entière - rayon de convergence - somme ... 02-11-07 à 11:10

non, non t'inquiète pas, la nuit je dors !
certes, je dors tard, mais je dors !

Kaiser

Posté par
lyonnaisre : Série entière - rayon de convergence - somme ... 02-11-07 à 11:41

Exact Kaiser

Merci beaucoup. Faut que je rectifi ça en effet !

Sinon oui une autre chose que j'ai rectifier. Pour cette dernière question, en fait comme il y a convergence uniforme sur tout intervalle du type [a,2pi-a] avec 0 < a < pi, la somme f est continu sur ]0,2pi[\{pi} et non sur [0,2pi] comme je l'avais annoncé.

J'ai donc changer ça. Et donc sur ]0,2pi[\{pi} j'obtiens g par intégration et je montre que c'est continu en 0 , pi et 2pi pour que ça marche sur [0,2pi].

Ca te va ?

Posté par
lyonnaisre : Série entière - rayon de convergence - somme ... 02-11-07 à 11:45

Donc ici  M = 1/|sin(a/2)|

Posté par
H_aldnoerre : Série entière - rayon de convergence - somme ... 02-11-07 à 12:17


(salut lyonnais )

Posté par
lyonnaisre : Série entière - rayon de convergence - somme ... 02-11-07 à 12:24

Salut H :D

Et oui, quand on commence un exercice, on le fait jusqu'au bout !

Posté par
kaiser Moderateurre : Série entière - rayon de convergence - somme ... 02-11-07 à 15:43

Citation :
Sinon oui une autre chose que j'ai rectifier. Pour cette dernière question, en fait comme il y a convergence uniforme sur tout intervalle du type [a,2pi-a] avec 0 < a < pi, la somme f est continu sur ]0,2pi[\{pi} et non sur [0,2pi] comme je l'avais annoncé.


pourquoi enlève-tu \Large{\pi} ?

Citation :
je montre que c'est continu en 0 , pi et 2pi pour que ça marche sur [0,2pi].


Je crois que c'est un peu plus compliqué que ça : en 0 et en 2pi la somme définie à la question 4 vaut 0 mais sa limite en 0 (l'expression avec les arctan) n'est pas nulle, donc il n'y pas continuité aux bords de l'intervalle. Il faut en fait que tu effectue l'interversion sur un intervalle du type [a, 2pi-a] avec a > 0 et puis faire tendre a vers 0 pour obtenir le résultat voulu (bref, il faut croire que cette subtilité nous avait échappé hier soir ! )

Kaiser

Posté par
lyonnaisre : Série entière - rayon de convergence - somme ... 02-11-07 à 19:07

Je ne comprends pas pourquoi ce que j'ai fait hier ne marche pas ...

Si je note :

\Large{f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{sin(nx)}{n}

J'ai montré que :

\Large{f(x) = \frac{\pi}{2}-\frac{x}{2} sur ]0,2\pi[

Donc avec :

\Large{g(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{cos(nx)}{n^2}  par intégration,

\Large{g(x) = -\frac{\pi.x}{2}+\frac{x^2}{4}+K sur ]0,2\pi[

Avec :

\Large{\int_{]0,\pi]} g(x) dx = 0 = \int_{]0,\pi]} (-\frac{\pi.x}{2}+\frac{x^2}{4}+K) dx

D'où :

\Large{K=\frac{\pi^2}{6}

Et on remarque que :

\Large{g(0) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} = -\frac{\pi}{2}.0 + \frac{0^2}{4} + \frac{\pi^2}{6}

De même :

\Large{g(2\pi) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} = -\frac{\pi}{2}.(2\pi) + \frac{(2\pi)^2}{4} + \frac{\pi^2}{6}

Donc on a continuité de g sur [0,2\pi] avec :

\Large{g(x) = -\frac{\pi.x}{2}+\frac{x^2}{4}+\frac{\pi^2}{6} sur [0,2\pi]

Mais c'est vrai que comme tu le dis, on n'a pas continuité de f sur [0,2pi], mais ce n'est pas important si ?

Romain

Posté par
kaiser Moderateurre : Série entière - rayon de convergence - somme ... 02-11-07 à 19:20

ah tiens, c'est vrai. Il me semblait bien pourtant qu'il y avait un hic.
Du coup, j'ai déliré et ce que tu as fait est parfaitement juste !

par contre, dans l'exercice, il me semble que l'on n'est pas censé connaitre la valeur de la série des 1/(n^2) pour justifier la continuité en et en 2pi.
Ici, pour prouver la continuité sur tout le segment (et même sur R tout entier), on y va comme un bourrin en disant que c'est une série de fonctionc continues qui converge normalement.

Kaiser

Posté par
lyonnaisre : Série entière - rayon de convergence - somme ... 02-11-07 à 19:30

Ok d'accord !!

Merci pour toutes ses explications

Je crois qu'on a fini par l'avoir celui là !

Posté par
kaiser Moderateurre : Série entière - rayon de convergence - somme ... 02-11-07 à 19:34

oui !

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