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Niveau Maths sup
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Série entière - rayon de convergence - somme ...

Posté par
lyonnais 01-11-07 à 19:40

Bonjour à tous

Voici un exercice qui me pose quelque soucis. Pouriez vous jeter un coup d'oeil ?

Exercice :

1) Soit a un réel. Quel est le rayon de convergence R de

\Large{\sum_{n \ge 1} \frac{sin(na).x^n}{n}

2) Calculer pour x dans ]-R,R[ ,

\Large{\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{sin(na).x^n}{n}

3) Montrer en utilisant la transformation d'Abel que :

\Large{\sum_{n \ge 1} \frac{sin(na).x^n}{n}  

converge uniformément sur [0,R]

Mes réponses :

1) Si a Z , R = +oo

Si a n'appartient pas à Z , R = 1

2) Je pensais partir sur la dérivée. Est-ce une bonne idée ?

Merci d'avance

Posté par
kaiser Moderateurre : Série entière - rayon de convergence - somme ... 01-11-07 à 20:58

Salut Romain

1) oui. Pourrais-tu donner un argument simple pour justifier le cas R=1 ?
2) c'est l'idée.

Kaiser

Posté par
lyonnaisre : Série entière - rayon de convergence - somme ... 01-11-07 à 21:04

Salut Kaiser

Merci pour ta réponse !! Bon alors :

1) Pour le cas R = 1. J'ai dis :

|x| < 1 => (sin(na).xn/n) tend vers 0 donc  R >= 1

|x| > 1 alors la suite (sin(na)) ne tend pas vers 0 donc puisque la suite(|x|n/n) tend vers +oo, (sin(na)xn/n) ne tend pas vers 0 donc R <= 1

Ainsi R = 1 . C'est Ok ?

2) Pour la 2, je trouve :

\Large{f'(x)=\frac{sin(a)}{(x^2-2x.cos(a)+1)}

Que je dois intégrer. Ca aurait été plus simple si la série avait été : \Large{\sum_{n \ge 1} \frac{cos(na).x^n}{n}

J'aurais obtenu du -(1/2).ln(...) directement.

Donc il faut que je fasse un changement de variable je pense.

Mathématica me donne un résultat en ArcTan ...

Je réfléchis encore, si tu as une idée !

Merci

Posté par
kaiser Moderateurre : Série entière - rayon de convergence - somme ... 01-11-07 à 21:11

pour la 1) : OK !

Pour la 2) : non, avec un cos, tu aurais eu le même problème (à cause de x²).
Bref, il va falloir faire un calcul de primitive.

Pour cela, essaie de réduire le trinôme sous sa forme canonique (pour justement faire apparaitre la dérivée d'une arctangente).

Kaiser

Posté par
lyonnaisre : Série entière - rayon de convergence - somme ... 01-11-07 à 21:14

Re

Non parce qu'avec du cos, j'obtiens :

\Large{g'(x)=\frac{-x+cos(a)}{(x^2-2x.cos(a)+1)}

Et là pas de problème pour intégrer, mais bon là n'est pas la question.

Tu peux m'expliquer ton idée ? Je ne comprends pas , c'est déjà sous forme canonique non ?

Merci

Posté par
kaiser Moderateurre : Série entière - rayon de convergence - somme ... 01-11-07 à 21:17

Au temps pour moi.

Citation :
Tu peux m'expliquer ton idée ? Je ne comprends pas , c'est déjà sous forme canonique non ?


non, ce n'est pas sous forme canonique (il faut faire apparaitre le début d'un carré etc ..)

Kaiser

Posté par
lyonnaisre : Série entière - rayon de convergence - somme ... 01-11-07 à 21:17

Ah j'ai peut-être compris :

\Large{f'(x)=\frac{sin(a)}{x^2-2x.cos(a)+1} = \frac{sin(a)}{(x-cos(a))^2+(sin(a))^2} = \frac{1}{sin(a)}.\frac{1}{(\frac{x-cos(a)}{sin(a)})^2+1}

C'est ça ?

Posté par
lyonnaisre : Série entière - rayon de convergence - somme ... 01-11-07 à 21:18

Je reviens tout de suite, je vais manger, merci pour cette idée de départ, je pense que je vais pouvoir finir cette question 2 !

A tout de suite

Posté par
kaiser Moderateurre : Série entière - rayon de convergence - somme ... 01-11-07 à 21:21

oui, c'est bien ça.
Bon appétit et à tout de suite !

Kaiser

Posté par
lyonnaisre : Série entière - rayon de convergence - somme ... 01-11-07 à 21:44

J'obtiens donc :

\Large{f(x) = arctan(\frac{x-cos(a)}{sin(a)}) + arctan(\frac{cos(a)}{sin(a)})

Après, comme je ne sais pas où est a ( si ce n'est dans IR ), on ne peut pas simplifier le 2ème terme en utilisant :

arctan(x) + arctan(1/x) = pi/2  si  x > 0  

arctan(x) + arctan(1/x) = -pi/2  si  x < 0  

Mais on peut peut-être utiliser la formule de Machin pour avoir une plus belle expression qu'en penses-tu ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Série entière - rayon de convergence - somme ... 01-11-07 à 21:50

oui, on peut utiliser ces deux égalités et dire que le deuxième terme vaut a à un multiple de \Large{\pi} près (car on aura alors arctan(tan(a))

Pour ce qui est de la formule de Machin, il me semble que l'on doit avoir entre du arctan(1/9) (enfin je me rappelle plus) donc ça m'étonnerait qu'elle nous soit d'une grand aide.

Kaiser

Posté par
lyonnaisre : Série entière - rayon de convergence - somme ... 01-11-07 à 21:55

Ba en fait, je voulais juste essayer de simplifier le résultat. Mais le problème, c'est qu'on ne connait pas le multiple de pi près justement.

Pour la formule de Machin, je pensais à :

Série entière - rayon de convergence - somme ...

Mais je ne pense pas que ça va se simplifier, on ne connait pas les signes donc je vais laisser comme ça je pense.

3) Pour la question 3, je penses voir plus où moins comment établir la convergence simple mais pour la convergence uniforme ...

(en fait, je n'ai jamais fait de transformation d'Abel, je m'entraîne sur un exo que j'ai trouvé sur le net). Mais je connais le théorème. Si jamais tu as une piste ...

Posté par
Cauchyre : Série entière - rayon de convergence - somme ... 01-11-07 à 21:56

Juste pour polluer, ils vous donnent que des exos de bourrins dans ta prépa Romain ?

Posté par
lyonnaisre : Série entière - rayon de convergence - somme ... 01-11-07 à 21:58

Cauchy > Et encore, ce n'est que le début :D

Mais ce sont des exos que le prof nous a conseiller, sans pour autant que l'on ai vu la méthode (pour la question 3 par exemple). Donc si jamais on peut m'aider !

J'aimerais bien savoir comment ça marche !

PS : il reste encore 2 ou 3 questions après, pour pas que vous vous ennuyez

Posté par
kaiser Moderateurre : Série entière - rayon de convergence - somme ... 01-11-07 à 22:01

Romain > il faut effectuer une transformation d'Abel sur une tranche de Cauchy (tiens, quand on parle du loup ! ) du type \Large{\Bigsum_{k=n}^{n+p}\frac{\sin(ka)}{k}x^{k}} pour la majorer par un truc qui ne dépend que de n et qui tend vers 0.

Kaiser

Posté par
lyonnaisre : Série entière - rayon de convergence - somme ... 01-11-07 à 22:13

Oula ça se complique

Est-ce que ça marche ce que j'ai fait, j'étais parti là dessus :

On pose :  (an) = (sin(na)/n)

(an) tend vers 0 en décroissant. De plus pour |x| 1 :

|Sn| = |3$\sum_{k=0}^n x^k| 2/|1-x|

On a alors après développement,

\Large{\sum_{k=0}^n a_kx_k=a_n.S_n+\sum_{k=0}^{n-1}(a_k-a_{k+1})S_k

(an) tend vers 0 et (Sn) est bornée, donc (anSn) tend vers 0. Reste à voir l'autre terme :

\Large{|\sum_{k=0}^{n-1}(a_k-a_{k+1})S_k| \le \frac{2}{|1-x|}\sum_{k=0}^{n-1}(|a_k|-|a_{k+1}|) \le \frac{2.|a_0|}{|1-x|}

Donc :

\Large{\sum_{k \ge 0}(a_k-a_{k+1})S_k converge absoluement donc converge.

D'où :

\Large{\sum_{k \ge 0} a_k.x^k converge

Ca c'est pour la convergence simple, je tappe ce que j'ai fait pour la convergence uniforme.

Posté par
kaiser Moderateurre : Série entière - rayon de convergence - somme ... 01-11-07 à 22:16

ça m'étonnerais beaucoup que ta suite \Large{a_{n}} soit décroissante (le sinus a un comportement bizarre en l'infini).

Kaiser

Posté par
lyonnaisre : Série entière - rayon de convergence - somme ... 01-11-07 à 22:22

--->  Je dois montrer que (anSn) converge uniformément vers 0 sur [0,R].

Soit M tq : pour tout x de [0,R] , |1-x| M

On a alors directement pour tout x :

\Large{|a_n.S_n(x)| \le \frac{2.|a_n|}{M}

donc Ok

---> \Large{\sum_{k \ge 0}(a_k-a_{k+1})S_k  converge uniformément sur [0,R] :

\Large{|a_k-a_{k+1}|.|S_k(x)| \le \frac{2.(|a_k|-|a_{k+1}|)}{M}

donc Ok aussi car (ak) cv donc (|ak|) converge.

Ca marche ma démo ? ( J'en doute d'après ton indice )

Posté par
lyonnaisre : Série entière - rayon de convergence - somme ... 01-11-07 à 22:22

Pfff tu as raison Tout est faux du coup

Posté par
lyonnaisre : Série entière - rayon de convergence - somme ... 01-11-07 à 22:22

Je regarde avec ton indice ...

Posté par
kaiser Moderateurre : Série entière - rayon de convergence - somme ... 01-11-07 à 22:25

Dans ton message de 22h22 : le M vaut 0 (car ça doit être vrai pour tout x de [0,R], avec R=1) donc ça coince.

Kaiser

Posté par
lyonnaisre : Série entière - rayon de convergence - somme ... 01-11-07 à 22:26

Aii exact, donc toute ma démo foire (je m'étais un peu calqué sur ce que j'avais vu sur le net ...)

J'arrive pas à commencer avec ton indication ...

Posté par
kaiser Moderateurre : Série entière - rayon de convergence - somme ... 01-11-07 à 22:30

pour pouvoir effectuer une transformation d'Abel, il faut identifier la suite décroissante vers 0 ainsi que la suite dont les sommes partielles sont bornées.

Pour la suite décroissante vers 0, je pencherais pour \Large{\frac{x^{k}}{k}} (car x est dans [0,1]).
Pour l'autre suite, il n'y plus tellement le choix.

Kaiser

Posté par
lyonnaisre : Série entière - rayon de convergence - somme ... 01-11-07 à 22:35

Ok donc avec ton indication, j'arrive à montrer que si je note :

\Large{S_n=\sum_{k=0}^n sin(ka)

J'ai en passant en complexe et en prenant la partie imaginaire, après majoration :

\Large{S_n=\sum_{k=0}^n sin(ka) \le \frac{1}{sin(\frac{a}{2})} = M

Ca va jusque là ? En fait, grace à toi, je vais peut-être acquérir la méthode pour ce genre d'exo.

Bon et donc après ...

Posté par
kaiser Moderateurre : Série entière - rayon de convergence - somme ... 01-11-07 à 22:39

Citation :

Ca va jusque là ?


oui, mais n'oublie quand même pas les valeurs absolues (j'ai oublie de préciser que c'était la valeur absolues des sommes partielles qui doivent être majorées)

Citation :
En fait, grace à toi, je vais peut-être acquérir la méthode pour ce genre d'exo.




Citation :
Bon et donc après ...


après, tu effectue la transformation d'Abel et tu majores ta tranche de Cauchy par un truc qui ne dépend que de n et qui tend vers 0 (ça sera sûrement un truc en 1/n)

Kaiser

Posté par
lyonnaisre : Série entière - rayon de convergence - somme ... 01-11-07 à 22:39

Ce que j'ai fait pour la convergence simple marche donc en remplaçant ! Non ?

Posté par
lyonnaisre : Série entière - rayon de convergence - somme ... 01-11-07 à 22:41

Oui tu as raison, j'ai oublié la valeur absolu ... Je regarde ta tranche de Cauchy

Posté par
Cauchyre : Série entière - rayon de convergence - somme ... 01-11-07 à 22:43

Vous avez fini de me découper

Posté par
kaiser Moderateurre : Série entière - rayon de convergence - somme ... 01-11-07 à 22:45

Citation :
Ce que j'ai fait pour la convergence simple marche donc en remplaçant ! Non ?


comment cela en remplaçant ?

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Série entière - rayon de convergence - somme ... 01-11-07 à 22:45

non, on n'a pas encore fini de te faire souffrir, Cauchy !

Kaiser

Posté par
lyonnaisre : Série entière - rayon de convergence - somme ... 01-11-07 à 22:49

En remplaçant, je veux dire en prenant les bonnes suites (an) et (Sn)

Pour la majoartion que tu veux effectuer ne dépendant que de n, il faut partir comme ça non ? En sommant de n à n+p eu à la place de 0 à n comme j'avais fait ?

Posté par
lyonnaisre : Série entière - rayon de convergence - somme ... 01-11-07 à 22:53

En gros, est-ce que pour effectuer la majoration, il faut introduire les sommes partielles ?

|\Large{\sum_{k=n}^{n+p} sin(ka).\frac{x^k}{k}| = |\Large{\sum_{k=n}^{n+p} (S_k-S_{k-1}).\frac{x^k}{k}|

Ps : j'ai quand même un peu de mal à voir comment faire ! Mais bon, j'y retourne

Posté par
kaiser Moderateurre : Série entière - rayon de convergence - somme ... 01-11-07 à 22:54

Citation :
En remplaçant, je veux dire en prenant les bonnes suites (an) et (Sn)


dans ce cas, oui.

Citation :
En remplaçant, je veux dire en prenant les bonnes suites (an) et (Sn)

Pour la majoartion que tu veux effectuer ne dépendant que de n, il faut partir comme ça non ? En sommant de n à n+p eu à la place de 0 à n comme j'avais fait ?


oui, car on veux pouvoir utiliser le critère de Cauchy, pour montrer que la suite des sommes partielles est de Cauchy pour la norme infinie.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Série entière - rayon de convergence - somme ... 01-11-07 à 22:59

Citation :
En gros, est-ce que pour effectuer la majoration, il faut introduire les sommes partielles ?


oui.

Kaiser

Posté par
lyonnaisre : Série entière - rayon de convergence - somme ... 01-11-07 à 23:04

Bon alors j'obtiens pour l'instant :

\Large{\sum_{k=n}^{n+p} sin(ka).\frac{x^k}{k} = \sum_{k=n}^{n+p} (S_k-S_{k+1}).\frac{x^k}{k} = -S_{n-1}.\frac{x^n}{n} + S_{n+p}.\frac{x^{n+p}}{n+p} + \sum_{k=n}^{n+p-1} (\frac{x^k}{k}-\frac{x^{k+1}}{k+1}).\frac{x^k}{k}

Et sinon juste un détails, il ne faudrait pas plutôt partir de :

\Large{\sum_{k=n+1}^{n+p} sin(ka).\frac{x^k}{k}

Si on veut faire Un+p - Un ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Série entière - rayon de convergence - somme ... 01-11-07 à 23:07

pour ta ligne de calcul, à la fin une petite faute de frappe : c'est Sk à la fin.

Sinon, pour ta remarque : oui, mais au final c'est du pareil au même que tu partes de n ou de n+1.

Kaiser

Posté par
lyonnaisre : Série entière - rayon de convergence - somme ... 01-11-07 à 23:07

Donc au final, en majorant tout ça, j'ai :

|\Large{\sum_{k=n}^{n+p} sin(ka).\frac{x^k}{k}| \le \frac{3.M}{n}

Posté par
lyonnaisre : Série entière - rayon de convergence - somme ... 01-11-07 à 23:08

Ah oui faute de frappe exact, je n'ai pas ça sur ma feuille, j'ai bien Sk

Posté par
kaiser Moderateurre : Série entière - rayon de convergence - somme ... 01-11-07 à 23:12

c'est même 2M/n mais bon, on va pas chipoter !

Kaiser

Posté par
lyonnaisre : Série entière - rayon de convergence - somme ... 01-11-07 à 23:14

Avec les deux premiers termes, c'est en valeur absolu majoré par 2M/n et le dernier terme est majoré par M[ 1/n - 1/(n+p)] qui est majoré par M/n donc ça nous fait 3M/n non ?

Sinon avec tout ça, on en déduit que la série \Large{\sum_{n \ge 1} \frac{sin(na).x^n}{n} converge. On n'a pas montré la convergence uniforme si

Posté par
kaiser Moderateurre : Série entière - rayon de convergence - somme ... 01-11-07 à 23:22

Citation :
Avec les deux premiers termes, c'est en valeur absolu majoré par 2M/n et le dernier terme est majoré par M[ 1/n - 1/(n+p)] qui est majoré par M/n donc ça nous fait 3M/n non ?


oui mais on peut majorer plus finement : parmi les deux premiers terms, le deuxième se simplifie avec un terme de la somme télescopique.

Citation :
On n'a pas montré la convergence uniforme si


justement, si !

Si on note \Large{F_{n}(x)} la somme partielle d'ordre n, on a montré que :

\Large{||F_{n+p}-F_{n}||_{\infty}\leq \frac{3M}{n}} avec M une constante (qui ne dépend de rien du tout, ni de n , ni de p), donc la suite de fonctions \Large{(F_{n})} est de Cauchy dans l'ensemble des fonction continues sur [0,1] muni de la norme infinie, qui est complet, donc la suite converge uniformément.

Kaiser

Posté par
lyonnaisre : Série entière - rayon de convergence - somme ... 01-11-07 à 23:29

Oh purée tu as raison !!!!

J'avais noté ça juste Fn et donc zappé la dépendance de x ! Ok j'ai tout compris, merci beaucoup.

Il y a encore deux questions.

Citation :
4) Déduire des questions précédentes la valeur de \Large{\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{sin(nx)}{n}

5) Montrer que la série \Large{\sum_{n \ge 1} \frac{sin(nx)}{n}  converge uniformément sur tout intervalle de la forme [a,2pi-a] (avec 0 < a < pi) , par application de la transformation d'Abel puis que :

\Large{\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{cos(nx)}{n^2} = -\frac{\pi.x}{2} + \frac{x^2}{4} + \frac{\pi^2}{6} sur [0,2\pi]

Posté par
lyonnaisre : Série entière - rayon de convergence - somme ... 01-11-07 à 23:31

Alors pour la 4), comme on a vu qu'il y avait convergence uniforme sur [0,1], ça marche en 1, donc on a :

\Large{\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{sin(nx)}{n} = arctan(\frac{1-cos(x)}{sin(x)}) + arctan(\frac{cos(x)}{sin(x)})

Il suffit de faire a <--x  et  x <-- 1

Non ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Série entière - rayon de convergence - somme ... 01-11-07 à 23:34

la question 4 est une application directe de ce qui précède (il faut néanmoins appliquer un théorème)

Pour la question 5), on n'a pas le choix, il faut remettre les mains dans le cambouis, mais c'est du même tonneau que tout à l'heure.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Série entière - rayon de convergence - somme ... 01-11-07 à 23:35

pour la question 4), pourrais-tu être un peu plus précis quand tu dis "ça marche en 1" ?

Kaiser

Posté par
lyonnaisre : Série entière - rayon de convergence - somme ... 01-11-07 à 23:40

Pour la 4)

1- il y a convergence uniforme sur [0,1]
2- Chaque f(n) est continue sur [0,1]

donc f est continue sur [0,1] et donc notament en 1

donc f(1) = lin (x-->1-) f(x)  ok ?

Tu es d'accord avec le résultat ?

Pour la 5°) Pff encore Cauchy :D

Mais c'est pareil que ce que l'on a fait, avec a(n) = 1/n et S(n) = sum (k=0 à n) sin(kx)

non ?

Posté par
lyonnaisre : Série entière - rayon de convergence - somme ... 01-11-07 à 23:45

En tout cas, merci de passer du temps à tout m'expliquer ! Ca m'aide vraiment, je commence à cerner la méthode

Posté par
kaiser Moderateurre : Série entière - rayon de convergence - somme ... 01-11-07 à 23:45

Citation :
Pour la 4)

1- il y a convergence uniforme sur [0,1]
2- Chaque f(n) est continue sur [0,1]

donc f est continue sur [0,1] et donc notament en 1

donc f(1) = lin (x-->1-) f(x) ok ?

Tu es d'accord avec le résultat ?


OK ! (en gros, ce que je voulais te faire dire c'est que l'on utilise le théorème d'interversion des limites).

Citation :
Pour la 5°) Pff encore Cauchy :D

Mais c'est pareil que ce que l'on a fait, avec a(n) = 1/n et S(n) = sum (k=0 à n) sin(kx)

non ?




oui, effectivement.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Série entière - rayon de convergence - somme ... 01-11-07 à 23:46

Posté par
lyonnaisre : Série entière - rayon de convergence - somme ... 01-11-07 à 23:51

Par contre pour trouver :

\Large{\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{cos(nx)}{n^2} = -\frac{\pi.x}{2} + \frac{x^2}{4} + \frac{\pi^2}{6}  sur  [0,2pi]

ça se trouve facilement en prenant la fonction de droite, en montrant qu'elle est paire et en ne calculant que les coeff de Fourier a(n), mais ce n'est pas l'idée ici je pense ...

L'énoncé donne une indication :

Citation :
La constante sera déterminée en justifiant puis en utilisant que :

\Large{\int_{0}^{\pi} \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{cos(nx)}{n^2} dx = 0

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