Niveau école ingénieur

Série temp et processus aléatoire

Posté par
toureissa 17-09-23 à 11:34

Bonjour à tous,

J'aurais besoin d'une explication à propos d'une relation entre la théorie de proba et la modélisation statistique.

En effet en théorie de proba, une variable aléatoire est définie sur un espace de probabilité a valeur dans un espace mesurable de sorte que l'image réciproque de partie de l'espace mesurable appartient à la tribu de l'espace de départ, ceci afin de pouvoir definir une proba sur l'espace mesurable d'arriver appeler proba image.

Cependant dans la réalité, quand on fait une modélisation statistique on est souvent amener à considérer une donnée observée comme la réalisation d'une variable aléatoire (on aurait dû ne pas l'observer et avoir autre valeur) on construit ensuite un modèle qui est peu près équivalent à l'espace de probabilité construit précédemment avec la probabilité image. J'aimerais savoir s'il est possible de reconstruire l'ensemble fondamentale de la tribu de départ d'une variable aléatoire qui est issue d'un modèle statistique (d'un phénomène réel)?

Exemple : ( Série temporaire)

Xt : nombre de parapluie vendu dans un magasin donné à l'instant t.

On connait les valeurs possibles de Xt (pour t fixé) qui sont 0,1,...L où L est peut être un maximum qui peut-être connu en fonction du contexte. Si on parvient à modéliser le comportement de Xt par une loi P, on a l'espace d'arriver tel que défini dans la définition d'une variable aléatoire. Cependant peut on reconstruire l'espace de départ (l'ensemble fondamentale) ou bien ça reste inconnue ?

Merci d'avance

Posté par re : Série temp et processus aléatoire 17-09-23 à 15:20

Bonjour,

Le formalisme des variables aléatoires comme fonctions mesurables définies sur un espace probabilisé donne un fondement solide à la théorie des probabilités.
Mais comme tu l'as remarqué, on se contente souvent d'introduire une variable aléatoire par sa loi, sans se préoccuper de l'espace de départ de cette fonction.
Prenons l'exemple d'une variable aléatoire discrète $X$ à valeurs entières vérifiant une certaine loi (peu importe laquelle) : on connaît $P(X=n)$ , par exemple on fixe cette probabilité sur la base d'un échantillon qu'on a étudié.
Quel est le $\Omega$ espace source de la variable aléatoire $X$ , pour avoir $X : \Omega \to \mathbb N ?$ Si aucun $\Omega$ ne s'impose naturellement, on peut toujours prendre tout simplement $\Omega =\mathbb N$ , $X=\mathrm{Id}_{\mathbb N}$ , et comme mesure de probabilité sur $\mathbb N$ celle donnée par la loi de $X$ : la probabilité de $\{n\}$ est $P(X=n)$ .
Si on a à considérer une suite $(X_k)_{k\in \mathbb N}$ de variables aléatoires à valeurs entières, on pourra prendre comme $\Omega$ commun à tous les $X_k$ l'ensemble $\mathbb N^{\mathbb N}$ de toutes les fonctions de $\mathbb N$ dans $\mathbb N$ , avec $X_k(f)= f(k)$ . La tribu qu'il convient alors de mettre sur ce $\Omega$ est celle engendrée par les $\{f\in \mathbb N^ {\mathbb N}\mid f(k_1)=n_1,\ldots,f(k_p)=n_p\}\}$ , et bien sûr la probabilité de cet événement est $P(X_{k_1}=n_1,\ldots, X_{k_p}=n_p\}$ .