Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths sup AnalyseTopics traitant de analyse [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Maths sup
Partager :

Séries

Posté par
cohlar 04-07-08 à 19:28

Bonjour, un autre exercice d'oral type Mines que je ne sais pas comment aborder :
Déterminer le nature des séries de terme général un=sin(2n!e) et vn=sin(n!e).
Je ne sais vraiment pas comment m'y prendre, est-ce que quelqu'un aurait une petite indication svp?
Merci d'avance

Posté par
gui_toure : Séries 04-07-08 à 19:29

Hello

Posté par
gui_toure : Séries 04-07-08 à 19:31

Zut il manque le message

Tu peux t'inspirer de ce défi

Ecris e d'une autre façon grâce à la formule de Taylor

Posté par
gui_toure : Séries 04-07-08 à 19:34

Il manque le lien xD

Exo défi : Série convergente ?

Posté par
cohlarre : Séries 04-07-08 à 20:14

Merci beaucoup, je pense que je n'aurais pas pensé à ça tout seul.
Dites moi si j'ai fait une erreur : j'ai montré en écrivant e=1/k! que un2/n, donc un est positive à partir d'un certain rang et on peut appliquer le critère par équivalent : un est le terme général d'une série divergente.
Je trouve la même chose pour vn(/n) mais j'ai peur d'être passé à côté d'un piège
Est-ce que quelqu'un pourrait confirmer ou infirmer?

Posté par
gui_toure : Séries 04-07-08 à 20:17

Mm je pense pas qu'il y ait de piège

Posté par
cohlarre : Séries 04-07-08 à 20:19

Quoi qu'il en soit j'ai compris l'idée, et ça m'a permis par la même occasion de résoudre ton défi ^^
Merci beaucoup

Posté par
gui_toure : Séries 04-07-08 à 20:21

Avec plaisir

Posté par
gui_toure : Séries 04-07-08 à 20:59

On pose 3$\forall n\in{\bb N},\;u_n=\sin(2\pi n!e)

Cherchons un équivalent de 3$u_n en 3$+\infty.

3$e=\Bigsum_{k=0}^n\fr{1}{k!}+\fr{1}{(n+1)!}+r_{n+2}   où   3$|r_{n+2}|\le\fr{e}{(n+2)!}

D'où

3$2\pi n!e\,=\,2\pi n!\Bigsum_{k=0}^n\fr{1}{k!}\,+\,\fr{2\pi}{n+1}\,+\,2\pi n!r_{n+2}

Or 3$\Bigsum_{k=0}^n\fr{1}{k!}\,\in\,\bb{Z, et comme 3$\forall k\in{\bb Z},\,\forall x\in{\bb R},\;\sin(2k\pi+x)=\sin(x), on a :

3$u_n=\sin\(\fr{2\pi}{n+1}\,+\,2\pi n!r_{n+2}\)   où   3$|r_{n+2}|\le\fr{e}{(n+2)!}

3$\sin(t)\sim_0 t donne 3$u_n\,\sim_{\infty}\,\fr{2\pi}{n+1}\,+\,2\pi n!r_{n+2}

De plus, 3$2\pi n!r_{n+2} est négligeable devant 3$\fr{2\pi}{n+1} (ça se montre fastochement^^) et donc

3$u_n\,\sim_{n\infty}\,\fr{2\pi}{n} et donc 3$\rm\fbox{\Bigsum_{n\ge0}u_n est une serie divergente

Posté par
gui_toure : Séries 04-07-08 à 21:08

Rectif : 3$n!\Bigsum_{k=0}^n\fr{1}{k!}\,\in\,\bb{N

Posté par
gui_toure : Séries 05-07-08 à 15:12

En fait en général dès que il y a "e" dans une limite faut revenir à 3$e=\Bigsum_{k=0}^n\fr{1}{k!}+\fr{1}{(n+1)!}+r_{n+2}


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !