-ln n
cette suite est convergente, sa limite est la constante d'Euler.

La suite converge effectivement vers la constante d'Euler mais comme , la série de terme général ne peut pas converger.

=1-1/2+1/3-1/4+1/5-..........+1/2n+1-1/2n+2
=(1+1/3+1/5+.......+1/2n-1+1/2n+1)-(1/2+1/4+.....1/2n+1/2n+2)
=(1+1/2+1/3+1/4+1/5+....+1/2n-1+1/2n+1/2n+1)-2(1/2+1/4+.......+1/2n)-1/2n+2
=(1+1/2+1/3+.....+1/(2n+1))-(1+1/2+....+1/n)-1/(2n+2)
=
un equivalent en + infini est :

ln(2n+1)-ln n -
soit
ln ()-
=ln 2+ ln ()-

en passant a la limite on obtient ln 2

voilà
rid mabrouk

franz hanane a du se tromper dans son enoncé
c'est plutot la suite
sinon par rigueur on aurait noté
et sinon l'exercice n'aurait aucun interet

mbrouk l3id à toi aussi

montrer que la suite de terme générale Un = (de k=0 à n-1 de 1/k+1) - ln(n) est convergente ,

en deduire la valeur de de n=0 à +00 de (-1)^n/n+1 .

(indication: on pourra poser Sn = de k=0 à n de (-1)^k/k+1  et comparer S2n et U2n-Un )

*** message déplacé ***

merci d'avance !

*** message déplacé ***

salut

pour montrer sa on peut encadré avec une integrale.

on pose f(x)=1/E(x) definit sur [1,+oo[

on a Un= (integrale de f(x)dx de 1 a n+1) - ln(n)

or  x-1<E(x)=<x

donc 1/(x-1)>f(x)>=1/x si x >1 (si x>1, pour x sur [1,2[ on a f(x)=1 qui remplace l'inegalité superieur)

on integre :

1+ln(n-1)>Un+ln(n)>=ln(n)

d'ou 1+ln((n-1)/n)>Un>=0

d'ou Un converge vers un reel compris entre 0 et 1 (qu'on apelle par ailleur la constant d'Euler)

(NB y a peut-etre plus simple pour le faire mais j'ai pas trouvé mieux)




2e question on fait comme ils disent ^^
U2n-Un = somme de 1 a 2n 1/n - somme de 1 a n de 1/n - ln(2n)+ln(n)
U2n-Un = somme de 1 a 2n de 1/n - somme de 1 a 2n n pair de 2/n - ln (2)
U2n-Un = Sn - ln(2)

Un converge vers un reel, donc U2n-Un converge vers 0 donc Sn converge vers Ln( 2)


voila voila

*** message déplacé ***

comment tu as fait pour montrer que la somme de k=0 à   n-1 de 1/k+1 est égale à l'integrale de f(x)dx de 1 à n+1 ?

*** message déplacé ***

Bonsoir hanane et Ksilver;
Ksilver,ce n'est pas parce qu'une suite numérique est bornée qu'elle est convergente : il manque un argument à ta démonstration.

Sauf erreurs bien entendu

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oups ^^


alors pour l'egalité avec l'integrale tu l'as car f(x) est une fonction "en escalier" (constant par interval de longeur 1) donc son integrale c'est la somme des valeurs qu'elle prend succesivement fois la longeur des intervalles: ici somme des 1*(1/k)
(j'ai oublié de le preciser sa n'est peut-etre pas evident : E(x) signifie parti entière de x)


sinon effectivement j'ai ete trop vite il manque des elements désolé...


soit f: x ---> 1/(x+1) + ln(x/(x+1))
definit pour x>0
f continu est derivable (sur R+)

on derive  f'(x) =1/(x(x+1)²)>0 donc f strictement croissante, en +oo lim(f(x))=0 donc pour tous x>0, f(x)<O

f(x) = 1/x+1 + ln(x) -ln(x+1)

or on trouve que Un+1-Un=f(n)<0 donc Un est strictement decroissante.

apres on reprend la demonstration de Un=<0 et c'est finit

mais pour le coup il y a tres probablement plus simple...

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