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séries de fonctions et convergence(2)

Posté par
robby3 21-04-07 à 12:38

Bonjour à tous, je continue dans cete série avec un nouvel exercice:

\rm Pour x\in \R et k\ge 0,on pose u_k(x)=\frac{x}{(1+x^2)^k} \\ \\ a)Montrer que la serie de terme general u_k(x) est convergente sur \R \\ \\ b)La convergence est-elle normale sur \R \\ c)La convergence est-elle uniforme sur \R \\ d)Monter que la convergence est uniforme sur [a,+\infty[ pour tout a>0 \\ e)Sur cet intervalle,la convergence est-elle normale?

pour la a) pour tout x dans R il y a convergence vers la fonction nulle.
pour la convergence normale,on regarde le sup|uk(x)| atteint pour k=0 sauf erreur et vaut |x| donc pas convergence normale sur R.(je suis pas sur de mon raisonnement)

pour la c) je sais pas du tout,le reste  et son expression ne m'inspire rien ...

Merci d'avance d evotre aide.

Posté par
freniclere : séries de fonctions et convergence(2) 21-04-07 à 12:42

Bonjour,

a) Pourquoi vers la fonction nulle ?? Si x > 0, tous les termes de la série sont >0

Cordialement
Frenicle

Posté par
robby3re : séries de fonctions et convergence(2) 21-04-07 à 12:59

Bonjour, on regarde quand k est grand non?

et donc en bas ça va tendre vers +oo non?

Je comprend pas pourquoi vous me dite que tout les termes de la série sont >0.
si x<0 tous les termes de la série sont <0 aussi non?
et si x=0 ça vaut 0...?!

je comprend pas votre remarque?

Posté par
Roulianere : séries de fonctions et convergence(2) 21-04-07 à 13:03

Bonjour,

Je crois que Robby a raison, comme 1+x² est strictement plus grand que 1 le dénominateur tend toujours vers +oo.

Posté par
robby3re : séries de fonctions et convergence(2) 21-04-07 à 13:04

Re,
j'espere!

Posté par
Roulianere : séries de fonctions et convergence(2) 21-04-07 à 13:09

Sinon, un truc bizarre, je comprends pas comment le sup de ta fonction peut dépendre de x !

Posté par
un1re : séries de fonctions et convergence(2) 21-04-07 à 13:09

Bonjour je crois que Frénicle a raison on ne regarde pas la suite mais la série!!
si x=0 ok
mais sinon non

Posté par
freniclere : séries de fonctions et convergence(2) 21-04-07 à 13:10

Ben il est question de la série, pas de la suite uk(x).

Posté par
freniclere : séries de fonctions et convergence(2) 21-04-07 à 13:11

J'allais le dire !

Posté par
un1re : séries de fonctions et convergence(2) 21-04-07 à 13:11

Posté par
robby3re : séries de fonctions et convergence(2) 21-04-07 à 13:12

ok donc si x=0 il y a convergence simple vers la fonction nulle.

mais aprés,si x>0,tous les termes de la série sont positifs strictement,quel raisonnement dois poursuivre?
je veux dire dans ce cas, à quoi dois je penser?

Posté par
Roulianere : séries de fonctions et convergence(2) 21-04-07 à 13:13

effectivement je me suis mélangé les pinceaux moi aussi !
désolé alors, je raisonnais en suites de fonctions

Posté par
freniclere : séries de fonctions et convergence(2) 21-04-07 à 13:15

Tu peux déjà calculer la somme de la série. C'est une série géométrique.

Posté par
H_aldnoerre : séries de fonctions et convergence(2) 21-04-07 à 14:08

est-ce que k est un entier, ou un réel ?

Posté par
robby3re : séries de fonctions et convergence(2) 21-04-07 à 14:12

un entier (comme n )
j'y ai réfléchi mais la série géométrique elle est vraiment bizare.

Posté par
kaiser Moderateurre : séries de fonctions et convergence(2) 21-04-07 à 14:17

Bonjour à tous

Citation :
la série géométrique elle est vraiment bizare


Pourquoi donc ?
à x fixé on a affaire à une suite géométrique de raison \Large{\frac{1}{1+x^{2}}}.

Kaiser

Posté par
robby3re : séries de fonctions et convergence(2) 21-04-07 à 14:20

Bonjour Kaiser, as t-on cette série qui vaut ça:

\Bigsum_{k=0}^{\infty} x.\frac{1}{1+x^2}=\frac{-1}{x}

??

Posté par
H_aldnoerre : séries de fonctions et convergence(2) 21-04-07 à 14:20

donc si |\frac{1}{1+x^2}|\le 1, il y a convergence de la série ?

Posté par
Roulianere : séries de fonctions et convergence(2) 21-04-07 à 14:21

Re,

Vu qu'on raisonne à x fixé, tu peux te ramener à l'étude de 1/(1+x²)^n qui est directe

Posté par
Roulianere : séries de fonctions et convergence(2) 21-04-07 à 14:21

oops pardon Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : séries de fonctions et convergence(2) 21-04-07 à 14:21

Ah mais on parle de quel série ?
Celle de terme général \frac{x}{(1+x^2)^k} ou (\frac{1}{1+x^2})^k ?

Posté par
kaiser Moderateurre : séries de fonctions et convergence(2) 21-04-07 à 14:23

Y'a pas de mal Rouliane !

H_aldnoer > celle avec le x mais le calcul n'est pas plus compliqué (il suffit de multiplier par x.

Kaiser

Posté par
Roulianere : séries de fonctions et convergence(2) 21-04-07 à 14:25

en fait on ne change pas la convergence en multipliant par un réel, et vu qu'ici on raisonne à x fixé on n'a pas de problèmes

Posté par
H_aldnoerre : séries de fonctions et convergence(2) 21-04-07 à 14:27

Ok!
Donc si |\frac{1}{1+x^2}|\le%201 on a bien convergence de la série ?

Posté par
Roulianere : séries de fonctions et convergence(2) 21-04-07 à 14:28

il faut une inégalité stricte

Posté par
robby3re : séries de fonctions et convergence(2) 21-04-07 à 14:28

ok mais comme le dit H_aldnoer à 14:20 il y a donc convergence mais faut savoir vers quoi non?

Posté par
Roulianere : séries de fonctions et convergence(2) 21-04-07 à 14:31

ben non pas forcément.

la série de terme général 1/n^5 converge, mais vers quoi on sait pas trop

Posté par
robby3re : séries de fonctions et convergence(2) 21-04-07 à 14:34

ok d'accord,donc on amontré la convergence simple sur R.

Posté par
Roulianere : séries de fonctions et convergence(2) 21-04-07 à 14:35

oui

Posté par
robby3re : séries de fonctions et convergence(2) 21-04-07 à 14:36

ok donc on continue:

pour la convergence normale sur R: on regarde si on peut majorer le sup|uk(x)| sur R par un truc qui converge?

c'est bien ça?

Posté par
H_aldnoerre : séries de fonctions et convergence(2) 21-04-07 à 14:38

Ok !
Car pour tout réel, \frac{1}{1+x^2}-1<0 ?

Posté par
Roulianere : séries de fonctions et convergence(2) 21-04-07 à 14:41

H_aldnoer > tout réel différent de 0 !
mais en 0 c'est ok.

Robby, pas forcément majorer, tu regardes si la série de terme général le sup des fn converge

Posté par
H_aldnoerre : séries de fonctions et convergence(2) 21-04-07 à 14:43

Ah oui il faut vérifier en 0 à part, on obtient la série de terme général 0 ?

Posté par
Roulianere : séries de fonctions et convergence(2) 21-04-07 à 14:44

oui

je me sauve moi bon courage pour la suite

Posté par
robby3re : séries de fonctions et convergence(2) 21-04-07 à 14:46

ok Rouliane!

mais la série des sup de fn...?!

ne faudrait-il pas trouver le sup des fn déja et pour le trouver on calcul la dérivé...non?

Posté par
H_aldnoerre : séries de fonctions et convergence(2) 21-04-07 à 14:48

Merci bien Rouliane!
Faut faire une étude de fonction ou pas ?

Posté par
robby3re : séries de fonctions et convergence(2) 21-04-07 à 14:52

c'est ce que je me demandais!
j'ai commencé la dérivée...je la trouve positive si k différent de 0...(mais j'en suis pas sur du tout!)

Posté par
H_aldnoerre : séries de fonctions et convergence(2) 21-04-07 à 14:58

Ouais je pense bien:
je trouve la dérivée du signe de (1+x^2)^{k-1}(1+x^2(1-2k)) no?

Posté par
robby3re : séries de fonctions et convergence(2) 21-04-07 à 14:59

euhh moi j'ai -k-1 comme exposant a 1+x² alors dans ce cas.

Posté par
H_aldnoerre : séries de fonctions et convergence(2) 21-04-07 à 15:06

Ah bon ?
On dérive par rapport à x no ?
On fait avec (u/v)' ?

Posté par
robby3re : séries de fonctions et convergence(2) 21-04-07 à 15:11

euhh oui!

c'est bon!

Posté par
robby3re : séries de fonctions et convergence(2) 21-04-07 à 15:12

juste que le signe de (1+x²)^(k-1) c'est tout le temps positif non?

Posté par
kaiser Moderateurre : séries de fonctions et convergence(2) 21-04-07 à 15:13

je suis d'accord avec robby : c'est bien \Large{-k-1} en exposant.
Cela dit, ça ne change rien l'étude du signe de la dérivée.

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : séries de fonctions et convergence(2) 21-04-07 à 15:15

Oui je pense, car 1+x² c'est tout le temps positif.
Alors soit k-1>0 (ou k>1) est c'est positif, soit k-1<0 (ou k<1) et on se retrouve avec 1/(1+x²) qui est aussi positif ou, enfin, soi k-1=0 (ou k=1) et ça vaut 1!

Donc du signe de (1+x^2(1-2k)) ?

Posté par
robby3re : séries de fonctions et convergence(2) 21-04-07 à 15:16

donc je trouve que finalement c'est strictement croissant.

Posté par
H_aldnoerre : séries de fonctions et convergence(2) 21-04-07 à 15:18

La dérivée donne pour moi :
\frac{(1+x^2)^k-xk(1+x^2)^{k-1}2x}{[(1+x^2)^k]^2}=\frac{(1+x^2)^k-2x^2k(1+x^2)^{k-1}}{[(1+x^2)^k]^2}=\frac{(1+x^2)^{k-1}((1+x^2)-2x^2k)}{[(1+x^2)^k]^2}=\frac{(1+x^2)^{k-1}(1+x^2(1-2k))}{[(1+x^2)^k]^2}

qui est bien du signe du numérateur (cad (1+x^2)^{k-1}(1+x^2(1-2k))) car le dénominateur positif, isn't it ?

Posté par
freniclere : séries de fonctions et convergence(2) 21-04-07 à 15:19

La somme de la série est la fonction f(x) = x + 1/x pour x non nul, et f(0) = 0.
Elle n'est pas continue en 0. Donc la convergence de cette série de fonctions continues ne peut être ni normale ni  même uniforme sur R.
Sauf erreur.

Posté par
H_aldnoerre : séries de fonctions et convergence(2) 21-04-07 à 15:21

c'est bien gentil frenicle, j'aurais préférer chercher un peu plus par moi même!

Posté par
robby3re : séries de fonctions et convergence(2) 21-04-07 à 15:21

oui enfin c'est du signe de (1+x²(1-2k))...

(c'est la meme chose sauf que k-1-2k=-k-1

Posté par
robby3re : séries de fonctions et convergence(2) 21-04-07 à 15:22

continuons malgré la réponse de Frenicle(merci au passage mais effectivement mieux vaut qu'on comprenne comment ça marche. )

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