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séries entières
Posté par izume
Bonsoir , svp j'ai une question en ce qui concerne le rayon de convergence d'une série entière en effet j'imagine une boule dont le périmètre est le rayon de convergence si la valeur absolu de mon élément z est inférieur au rayon de convergence R alors ma série entière bénéficierait d'une convergence absolue mais si j'ai le contraire est ce que je j'ai le droit de parler de la divergence de la série entière ou bien tous ce qu'on peut dire est que ma suite n'est pas bornée ?
sinon j'ai une autre question qui me perturbe un peu est ce que si on parle d'une suite qui n'est pas bornée peut-on déduire que notre série est divergente ?
merci d'avance et bonne fin de journée.
Bonsoir,
Pour ta première question :
Ce qu'on sait, c'est que, pour une série entière de terme général anzn et de rayon de convergence R :
- pour |z| <R, la série converge absolument,
- pour |z|=R, on ne peut rien dire sinon qu'il y a au moins 1 point du cercle pour lequel la série diverge
- pour |z|>R, la série diverge grossièrement.
Pour ta seconde question, qui était déjà en filigrane dans la première,
il n'est pas nécessaire que la suite {an} soit bornée pour avoir un rayon de convergence non nul.
Par exemple, la série de terme général n.zn a un rayon de convergence R=1.
Sauf erreur de ma part, les experts rectifieront 
Bonjour LeHibou !
Je me permets de signaler, pour le cas qu'on peut avoir convergence (et même absolue convergence) pour TOUS les points du cercle de convergence. Exemple
Merci luzak pour cette précision !
Je voudrais si possible que tu m'aides à comprendre quelque chose.
J'ai lu en plein d'endroits que, lorsque f est la fonction analytique dont la série entière considérée est le développement autour de 0, le rayon de convergence est égal à la distance entre 0 et le pôle de f le plus proche de 0, ce qui impliquerait qu'il y ait un pôle sur la circonférence du cercle.
Par ailleurs, dans Analyse Réelle et Complexe de W. Rudin, il y a ce résultat :
"Proposition 5.2 :
Soit ∑ anzn une série entière de rayon 1. Au moins un point du cercle unité est un point singulier pour cette série."
J'imagine que je dois faire une confusion entre point de convergence, point singulier, pôle... Peux-tu m'aider à préciser le sujet ?
Merci d'avance,
LeHibou
salut
considère simplement les fonctions
f, g et h sont développables en séries entières.
quelles sont leur rayon de convergence ? leur pole (ou singularité isolée) ?
peut-être que ces deux liens te permettront d'y voir plus clair :
Je ne vois rien d'autre à ajouter sinon qu'il existe au moins un point du cercle où la somme n'est pas analytique.
Merci carpediem et luzak !
Ma confusion était entre un point singulier et un pôle, c'est plus clair maintenant...