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Séries entières (complexes)

Posté par
Maths96 16-01-17 à 23:28

Bonsoir à tous,

J'essaye depuis un bon moment de trouver le rayon de convergence de la suite entière suivante:

\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}z^{n} où a_{n}=\log{(n!)} et z \in \mathbb{C}

Jusqu'à présent j'arrive à ceci

\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\log{((n-1)!)}}{\log{n}}

à partir de la je ne sais plus continuer...

Merci pour toute aide

Posté par
etniopalre : Séries entières (complexes) 16-01-17 à 23:49

Le rayon R est   1 puisque   an = + .

Si |z| < 1 ,  |an+1zn+1| / |anzn| = |an+1|z|/ |an     |z| donc   |an zn | < +  et R |z| .

Par suite R = 1 .

Posté par
carpediemre : Séries entières (complexes) 17-01-17 à 00:03

salut

Citation :
Jusqu'à présent j'arrive à ceci

\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\log{((n-1)!)}}{\log{n}}
oui .... et ça veut dire quoi ? ... et d'où ça sort ?

\dfrac {a_{n + 1}}{a_n} = \dfrac {\ln (n + 1)!} {\ln n!} = \dfrac {\ln (n + 1) + \ln n!} {\ln n!} = 1 + \dfrac {\ln (n + 1)}{\ln n!}

...

Posté par
jokassre : Séries entières (complexes) 17-01-17 à 09:12

Salut,

personellement je m'en suis toujours sortit avec la formule de la racine n-ième.
Et ici:

\lim_{x\to +\infty}  \sqrt[n]{log(n!)} vaut quelque chose d'assez simple.

Posté par
etniopalre : Séries entières (complexes) 17-01-17 à 09:57

Vers quoi converge  (ln(n!))1/n ?
Ou encore vers quoi converge   (ln(1) + ln(2) +......+ ln(n))/n  ?

Posté par
carpediemre : Séries entières (complexes) 17-01-17 à 16:43

jokass @ 17-01-2017 à 09:12

Salut,

personnellement je m'en suis toujours sortit avec la formule de la racine n-ième.
alors tu as eu de la chance ... ou tu n'as pas fait beaucoup de math ... (je veux dire par là : rencontrer les exemples "tordus" (légèrement) où tu ne t'en sors pas ...)

Posté par
jokassre : Séries entières (complexes) 17-01-17 à 17:01

Citation :
alors tu as eu de la chance ... ou tu n'as pas fait beaucoup de math ... (je veux dire par là : rencontrer les exemples "tordus" (légèrement) où tu ne t'en sors pas ...)


Evidement rien ne marche à tout les coups, ça serait trop beau ^^ .
Mais de là à dire que "je n'ai pas fait beaucoup de math", c'est un peu abusé, après je le prend bien t'inquiète
On a qu'à dire que je suis un petit chanceux mdr

Posté par
Maths96re : Séries entières (complexes) 18-01-17 à 00:17

Bonsoir à tous!

Merci pour toutes vos réponses! Malheureusment je ne comprends toujours pas.
Suis-je sensé connaitre la limite:

\lim_{n \rightarrow \infty} (\ln{n})^{\frac{1}{n}}?

ou même

\lim_{n \rightarrow \infty} {\ln{n!}}     ?

Et comment puis-je les calculer?
J'ai même regardé sur wolframalpha et simbolab mais il ne donnent pas de réponses...

Merci!

Posté par
verdurinre : Séries entières (complexes) 18-01-17 à 00:27

Bonsoir,
les critères de convergences sont des outils, que l'on est pas obligé d'utiliser.

Le premier message d'etniopal donne la réponse et une démonstration.

Posté par
Maths96re : Séries entières (complexes) 18-01-17 à 00:44

Je suis d'accord que la démonstration d'etniopal donne la bonne réponse mais j'aimerai résoudre l'exercice comme je l'ai posté au début. Je ne veux pas rester bloquer sur une question de limites avec des factoriels et des logarithmes qui peuvent apparaitre dans des autres exercices

Merci

Posté par
verdurinre : Séries entières (complexes) 18-01-17 à 01:05

Il est idiot de vouloir obtenir un résultat par des méthodes fixes.

Tel que tu as posé le problème au départ, il n'y a pas de méthode imposée.

La démonstration proposée par etniopal est beaucoup plus générale que l'utilisation des règles de d'Alembert ou autres.

Posté par
Maths96re : Séries entières (complexes) 18-01-17 à 01:54

Je ne trouve pas idiot de vouloir résoudre un exercice de plusieurs façons différentes... j'ai souvent rencontré des exercices où je devais résoudre un exercice de plusieurs façons. J'accepte parfaitement la réponse de etniopal mais comme dans ce cas mon problème est au niveau des limites je remercie toute réponse pour m'aider avec cette difficulté

Posté par
etniopalre : Séries entières (complexes) 18-01-17 à 09:19

Si tu préfères Cauchy à d'Alembert tu s amené à voir ce que fait la suite n   (ln(n!))1/n  ou encore la suite s  :  n   (1/n).ln(ln(n!)) .

Pour ça tu utilises  le fait que pour tout k tel que k > 1 on a : \int_{k-1}^{k}{ln(t)dt}<ln(k)<\int_{k}^{k+1}{ln(t)dt} .

Cela permet de trouver 2 suites v et w  convergentes vers 0 telles que  v s t   et donc de montrer que s 0.

On retrouve,  de façon moins simple , que R = 1 .  

Posté par
carpediemre : Séries entières (complexes) 18-01-17 à 09:40

il me semble avoir proposé une solution à 00h03 ...


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