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Posté par
jandri Correcteur
re : Séries numériques 17-09-16 à 23:05

Bonsoir,

La suite définie initialement vérifie:
z_1=\ln(\lambda ) et z_2=\ln(\lambda -\ln(\lambda )).

La suite définie par jsvdb vérifie:
z_1=\ln(\lambda ) et z_2=\ln(\lambda )+\ln(\lambda -\ln(\lambda )).

Bien que les deux suites vérifient la même relation de récurrence, z_{n+1}=z_n+\ln(\lambda-z_n ), ce ne sont pas les mêmes suites.

Posté par
Razes
re : Séries numériques 17-09-16 à 23:59

La méthode est bonne et j'ai trouvé d'où provient le problème. Tout ce que je t'ai dit dans mon précédent post est correct.

Ce qui se passe, est que nous avons z_1 = ln(\lambda), qui est inférieur à \lambda-1, donc on se trouve directement dans la zone croissante. Donc ce qui a été fait est correct.

Il y a aussi le cas que j'avais testé (en fait c'était une erreur), c'était de prendre pour z_1 une valeur comprise entre \lambda-1 et \lambda au lieu de z_1=\ln(\lambda) qui correspond à la zone décroissante.

On constate ceci dans le tableau XLS (de  jsvdb), en commençant avec z_0=0, nous obtenons z_1=-7,........ car dans cette zone la suite est décroissante, normalement on devait commencer avec z_0=\ln(0.0005)=-7,60090246. Une fois on calcule z_1 on se retrouve dans la zone croissante et on y reste jusqu'à convergence.

Désolé d'avoir semé le doute.

Posté par
tuxedo95
re : Séries numériques 18-09-16 à 09:48

Razes @ 17-09-2016 à 23:59


Désolé d'avoir semé le doute.


Non vous n'avez pas à être désolé, au moins vous m'avez appris une nouvelle méthode pour traiter les suites. Merci !

Posté par
boninmi
re : Séries numériques 18-09-16 à 09:55

tuxedo95 @ 17-09-2016 à 21:59

Mais ça veut dire que tout ce qu'on a fait depuis le début est faux  ?

Il y a des inexactitudes dans ce qu'a dit ... Razes
Il a avancé qu'il y avait une discussion selon . J'ai montré que non.
jsvdb a étayé expérimentalement cette démonstration. Expérimenter n'est pas démontrer, mais les exemples pris par jsvdb sont éclairants.
Razes montre que le sujet aurait pu être pris par un autre biais. C'est vrai, mais ce qu'il annonce comme méthode plus simple nécessite un changement de variable, pas nécessairement immédiat.  Son idée est néanmoins intéressante car elle montre que l'on pourrait fabriquer d'autres exercices sur le même thème en choisissant les fonctions f et g avec les "bonnes" propriétés.
Il n'y a donc aucun souci avec la démonstration finale que j'ai proposée.

Posté par
tuxedo95
re : Séries numériques 18-09-16 à 10:35

Posté par
jsvdb
re : Séries numériques 19-09-16 à 09:35

Avec une belle image pour \lambda = e^{-2}

Séries numériques

Posté par
jandri Correcteur
re : Séries numériques 19-09-16 à 16:59

Je précise ce que j'ai voulu dire le 17-09-16 à 23:05.
La définition de la suite donnée par tuxedo95 le 15-09-16 à 17:52 ne devait pas être la bonne. Je la rappelle:
z_1 = \ln(\lambda) et pour n\geq2: z_n = \sum_{k=1}^{n-1} \ln(\lambda - z_k).
Avec cette définition on calcule:
z_1 = \ln \lambda
z_2 = \ln(\lambda-z1) = \ln(\lambda - \ln \lambda)
z_3 = \ln (\lambda - z_1) + \ln(\lambda - z_2) =  \ln(\lambda - \ln \lambda)+\ln(\lambda-\ln(\lambda - \ln \lambda)) etc...
Or z_3 n'est défini que si \lambda-\ln(\lambda - \ln \lambda)>0 c'est-à-dire, après étude d'une fonction, si \lambda>\lambda_0\approx 0.34416.
Quand cette condition est vérifiée, z_n = z_{n-1} + \ln(\lambda - z_{n-1}) \leq z_{n-1} +\lambda - z_{n-1}-1=\lambda-1 pour n\geq3.
La suite est bien définie, elle est croissante et elle converge vers \lambda-1.
Avec cette définition la suite n'est pas définie si \lambda\leq \lambda_0\approx 0.34416.

Mais jsvdb a donné une autre définition le 17-09-16 à 10:13:
\begin{cases} z_0 = 0& \text{ si } n= 0 \\ z_n = f(z_{n-1}) & \text{ si } n > 0 \end{cases} en posant f(x)=x+\ln(\lambda-x).
Cela revient à modifier la définition de tuxedo en posant: z_0 =0 et pour n\geq1: z_n = \sum_{k=0}^{n-1} \ln(\lambda - z_k).
Avec cette définition la suite est bien définie pour tout \lambda>0 et elle converge vers \lambda-1.

Pour compléter on peut montrer que la convergence de la suite est "quadratique":
(\lambda-1)-z_{n+1}\sim \frac12 ((\lambda-1)-z_n)^2.

Posté par
jsvdb
re : Séries numériques 19-09-16 à 18:31

Il y a eu pas mal de définition de f. Alors dans l'ordre :

Razes @ 15-09-2016 à 22:50


En étudiant la fonction f(x) = \ln(x-\ln(x)), on constate qu'il y a un point critique qui correspond à x=1


jsvdb @ 16-09-16 à 03:17


On pose f(x) = Ln(\lambda - x) \textrm { pour } x \in D_{\lambda} = ]- \infty, \lambda}[


Razes @ 16-09-16 à 19:04


La fonction est f(x)=x+\ln(\lambda-x)


Puis j'ai repris cette dernière le 17-09-16 à 10:13 lieu de poursuivre dans la mienne.

Posté par
jandri Correcteur
re : Séries numériques 19-09-16 à 19:00

La fonction f dont je parle est celle qui définit la suite récurrente étudiée, z_{n+1}=f(z_n).
Les deux définitions de la suite étudiée vérifient la même relation de récurrence mais elles diffèrent par l'initialisation.

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