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Si z est un imaginaire pur, alors z' est un imaginaire pur

Posté par
Quemlou 06-09-19 à 19:23

Bonjours à tous,
Mon énoncé se présente ainsi :
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O,i->,j->)
On désigne par A le point d'affixe za=-i et par B le point d'affixe zb=-2i. Soit f l'application qui, à tout point M d'affixe z, M distinct de A, associe le point M' d'affixe z' définie par z'=(iz-2)÷(z+i)

1) Démontrer que si z est un imaginaire pur et si z est différent de -i, alors z' est un imaginaire pur.

Je sèche complètement dès la première question !! J'ai essayé de remplacer z par x+iy, et multiplier pas le conjugué mais rien à faire je reste bloqué !!
Je sais que je dois m'aider du fait  que z'+z'(barre)=0 si z' est un imaginaire pur mais je bloque.
Quelqu'un aurait-il THE solution pour m'aider dès ce début d'année ? 😅
Merci énormément d'avance.

Posté par
verdurinre : Si z est un imaginaire pur, alors z' est un imaginaire pur 06-09-19 à 19:29

Bonsoir,
si z est un imaginaire pur tu peux le remplacer par iy.

Posté par
lefou666re : Si z est un imaginaire pur, alors z' est un imaginaire pur 06-09-19 à 19:32

Bonjour,

Verdurin, avec y différent de - 1 car z différent de - i

Posté par
Quemloure : Si z est un imaginaire pur, alors z' est un imaginaire pur 06-09-19 à 19:43

J'avais déjà penser à cette méthode mais pareil je ne peut plus faire grand chose, cela me donne (-y-2)÷(iy+i)

Peut-etre que je ne vois pas quelque chose ?

Posté par
lefou666re : Si z est un imaginaire pur, alors z' est un imaginaire pur 06-09-19 à 19:48

Fais en sorte qu'il n'y ait plus de i au dénominateur .

Posté par
Quemloure : Si z est un imaginaire pur, alors z' est un imaginaire pur 06-09-19 à 19:57

Cela me donne (iy2+iy+2iy+2i)÷(y2+2y+1)

Vu qu'il n'y a que des imaginaires au numérateur est ce que cela veut dire que ce que j'ai obtenu représente un imaginaire pur ?

Posté par
lefou666re : Si z est un imaginaire pur, alors z' est un imaginaire pur 06-09-19 à 20:02

Refais tes calculs:

Le plus simple, tu mets i en facteur au dénominateur.
Puis tu multiplies le numérateur et le dénominateur par i

Posté par
Quemloure : Si z est un imaginaire pur, alors z' est un imaginaire pur 06-09-19 à 20:07

Cela ne fait que racourcir mon expression non ?

Car cela me donne donc (-y-2)÷(iy+i)
=(-y-2)÷(i(y+1))
=(-yi-2i)÷(-y-1)

Posté par
lefou666re : Si z est un imaginaire pur, alors z' est un imaginaire pur 06-09-19 à 20:07

Après vérification, ton résultat  obtenu à 19:57 est un peu compliqué, mais est correct.

Posté par
lefou666re : Si z est un imaginaire pur, alors z' est un imaginaire pur 06-09-19 à 20:09

A  20; 07 résultat correct .

Donc conclusion ?

Posté par
Quemloure : Si z est un imaginaire pur, alors z' est un imaginaire pur 06-09-19 à 20:11

Et donc pour justifier en disant que le numérateur représente un imaginaire pur, donc toute l'expression est un imaginaire pur et ainsi si z est un imaginaire pur et si z est different de -i alors z' est un imaginaire pur ?

Posté par
lefou666re : Si z est un imaginaire pur, alors z' est un imaginaire pur 06-09-19 à 20:18

z' [(-y - 2 )  / (-y - 1) ]  i , avec [ ( - y - 2) / (-y - 1)] réel donc z' est imaginaire pur

Posté par
lefou666re : Si z est un imaginaire pur, alors z' est un imaginaire pur 06-09-19 à 20:20

Par contre, après une autre vérification, j'ai l'impression que ton calcul à 19 : 57 est faux.

Posté par
Quemloure : Si z est un imaginaire pur, alors z' est un imaginaire pur 06-09-19 à 20:21

D'accord merci beaucoup !! 1 question sur 21, encore 20 !! Non merci vraiment au moin je pense que ca me débloquera sur quelques points vu que c'était la première question, encore merci

Posté par
Quemloure : Si z est un imaginaire pur, alors z' est un imaginaire pur 06-09-19 à 20:22

Oh et bien je mettrai l'autres vu qu'il sera plus compréhensible pour mon professeur et que facilement rédigeable

Posté par
lefou666re : Si z est un imaginaire pur, alors z' est un imaginaire pur 06-09-19 à 20:22

Non c'est bon

Posté par
Pirhore : Si z est un imaginaire pur, alors z' est un imaginaire pur 06-09-19 à 20:55

Bonsoir,

autre méthode

\bar{z'}=\dfrac{-i\bar{z}-2}{\bar{z}-i}

mais z=-\bar{z}

\bar{z'}=\dfrac{iz-2}{-z-i}=-\dfrac{iz-2}{z+i}=-z'

d'où z' imaginaire pur

Posté par
Quemloure : Si z est un imaginaire pur, alors z' est un imaginaire pur 06-09-19 à 21:00

Oh et bien je mettrai l'autres vu qu'il sera plus compréhensible pour mon professeur et que facilement rédigeable

Pirho @ 06-09-2019 à 20:55

Bonsoir,

autre méthode

\bar{z'}=\dfrac{-i\bar{z}-2}{\bar{z}-i}

mais z=-\bar{z}

\bar{z'}=\dfrac{iz-2}{-z-i}=-\dfrac{iz-2}{z+i}=-z'

d'où z' imaginaire pur
j'avouerai ne pas avoir comprit la demarche, je veut dire par là que je ne vois pas la justification 🙄

Posté par
Pirhore : Si z est un imaginaire pur, alors z' est un imaginaire pur 06-09-19 à 21:10

ben il suffit de connaître le fait que pour tout nombre complexe z,

z est imaginaire pur \iff z=-\bar{z}

et connaître la signification du nombre complexe conjugué

à la 1re ligne on prend le conjugué de z'

Posté par
Quemloure : Si z est un imaginaire pur, alors z' est un imaginaire pur 06-09-19 à 21:15

Oh d'accord je vois, merci beaucoup !

Posté par
Pirhore : Si z est un imaginaire pur, alors z' est un imaginaire pur 06-09-19 à 21:18

de rien


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