Bonjour

C'est un homomorphisme pour lequel il existe au moins un x tel que

En fait c'est une terminologie un peu dépassée; il me semble que maintenant à un homomrphisme d'anneaux d'avoir f(1)=1 ce qui fait que si l'anneau d'arrivée n'est pas un morphisme d'anneaux est automatiquement non identiquement nul!

Merci pour la réponse mais déjà je comprends pas que cela veut dire un homomorphisme?

Oh!

Si A et B sont deux anneaux, un homomorphisme est une application telle que pour tout on ait

f(x+y)=f(x)+f(y)
f(xy)=f(x)f(y)

et... probablement

bon merci mais anneau=matrice????

NON! Bon, qu'es-tu en train de faire? Tu ne peux pas deviner toutes les définitions de la théorie des anneaux! Tu peux déjà regarder ici:

Groupes, anneaux, corps

ou ici:

merci très bien j'ai voulu vous demander tout juste pour essayer de résoudre ce cet exercice :
""Montrer que si f:IR----IR un homomorphisme d'anneau non identiquement nul;alors f est l'identité""
                                     merci encore à toute

Bon... mais résoudre un exo quand on ne sait pas du tout de quoi on parle!!

On commence par f(1)=1. Ensuite, tu montres que f(n)=n pour tout n dans Z, puis tu passes à Q, puis tu conclus!

merci c'est un challenge entre moi et mes amis ...... merci pour l'indication

on a f est un homomorphisme d'anneau non identiquement nul donc:
f(1)=1;
f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=1+1=2;
.
.
.
f(n)= somme de 1 jusqu'à n de f(1)=1*n=n
f(0)=f(1-1)=f(1+(-1))=f(1)+f(-1);;or f est une application linéaire d'ou;
f(0)=f(1)-f(1)=1-1=0;
f(-1)=f(0-1)=f(0)-f(1)=0-1=-1;
f(-2)=f(-1-1)=-f(1)-f(1)=-1-1=-2;
f(-3)=f(-1-1-1)=-f(1)-f(1)-f(1)=-1-1-1=-3;
.
.
.
f(-n)=-f(1)-f(1)-f(1)-...-f(1)=-n
   conclusion1:quelques soit p on a f(p)=p.

soit y ou y=1/p;;p0
f(1/p)=f(1)*f(1/p)=f(p^-1)=f(f(p)^-1)(car f(p)=p donc f(p)^-1=p^-1)
alors f(1/p)=f(p)^-1=p^-1=1/p
conclusion2: qQ ona f(q)=q.
conclusion 1 + conclusion 2 r ona   f(r)=r
alors f est l'identité

il y'a une faute
soit y ou y=1/p;;p0
f(t/p)=f(t)*f(1/p)=t*f(p-1)=t*f(f(p)-1)(car f(p)=p donc f(p)-1=p-1)
alors f(t/p)=t*f(p)-1=t*p-1=t/p
conclusion2: qQ ona f(q)=q.
conclusion 1 + conclusion 2 r ona   f(r)=r
alors f est l'identité

Attention... tu n'as prouvé que c'est l'identité que pour les rationnels! Reste à passer à un réel quelconque... et ce n'est pas si évident que ça!

Indication: montre qu'une telle fonction est nécéssairement croissante et utilise la densité des rationnels...

mais à quoi sert le fait de prouver qu'elle est croissante?

L'ensemble Q est dense dans R.
D´emonstration. Soit a, b deux r´eels tels que a < b. Il s'agit d'exhiber un rationnel p/q tel que
a < p/q < b.
En appliquant la propri´et´e d'Archim`ede (th´eor`eme 1.2.2), on voit qu'il existe un entier q tel
que
1
b − a
< q
(on prend y = 1 et x = 1/(b − a)). On obtient
qa + 1 < qb. (1)
Soit p le plus petit entier relatif tel que p > qa. On a alors
p − 1 ≤ qa < p, (2)
donc p ≤ qa + 1 et qa < p ≤ qa + 1 < qb. En divisant par q on a le r´esultat d´esir´e.

mais à quoi sert ça aussi

Ca sert à répondre à la question! Et il s'agit pour un réel a de l'encadrer par deux rationnels... Je ne vois pas à quel moment tu as démontré que f(a)=a.