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Niveau Maths sup
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Simplification d'une somme

Posté par
hGell150
21-07-14 à 04:17

Bonjour à tous,

J'avoue avoir quelque peu de mal avec cet énoncé :
http://* lafol > lien supprimé, fais l'effort de recopier ton énoncé sur le forum, hGell150, si tu veux de l'aide

Je présente mes pistes :
- j'ai utilisé la formule du binôme de newton et simplifier l'expression de exp(2ikpi/n)^(n-k) (puisqu'en effet exp (2ikpi/n)*n=1 il me semble, exp(2ipik/n) representant les racines nemes de l'unité.)
J'ai ainsi pu obtenir une factorisation quelque peu différente, du genre :
somme des (1+z*exp(2ipik/n)^n.. mais je n'arrive pas à avancer, quelque chose doit certainement m'échapper puisqu'en tatonnant avec la calculatrice, le résultat semble être n*z^n+n (celà voudrait qu'il ne resterait que les termes "extremes" de (z+exp(...))^n, ceux au centre s'annulant..
M'enfin, j'ai dû me perdre quelque part.

Merci par avance aux personnes qui prendront le temps d'y réflechir.

Posté par
DOMOREA
Simplification d'une somme 21-07-14 à 08:45

bonjour,
si tu sommes en associant les termes z^{n-r},tu te retrouves avec des sommes de termes de suites géométriques. En posant u=e^{\frac{2i\pi}{n}}
tu auras des sommes de type 1+u^r+(u^r)^2+...(u^r)^k+...(u^r)^{n-1}=\frac{1-(u^r)^n}{1-u^r}=0

Posté par
franz
re : Simplification d'une somme 21-07-14 à 08:47

\sum_{k=0}^{n-1}\left(z+e^{\frac{2ik\pi}n}\right)^n

\begin{array}{rcl}\sum_{k=0}^{n-1}\left(z+e^{\frac{2ik\pi}n}\right)^n & = & \sum_{k=0}^{n-1} \sum_{j=0}^{n} {n\choose j} z^{n-j}\,e^{\frac{2ijk\pi}n} \\ & = & \sum_{j=0}^{n} {n\choose j} z^{n-j}\,\sum_{k=0}^{n-1} \left( e^{\frac{2ij\pi}n}\right)^k\end{array}

Deux cas sont alors à étudier en fonction de j
      \red \bullet \qquad e^{\frac{2ij\pi}n} \neq 1
Dans ce cas : \sum_{k=0}^{n-1} \left( e^{\frac{2ij\pi}n}\right)^k = \frac {1 - (e^{\frac{2ij\pi}n})^n} {1 - e^{\frac{2ij\pi}n}}=\frac {1 - e^{2ij\pi}} {1 - e^{\frac{2ij\pi}n}}=0

      \red \bullet \qquad e^{\frac{2ij\pi}n} = 1
Dans ce cas : \sum_{k=0}^{n-1} \left( e^{\frac{2ij\pi}n}\right)^k = n
Ce dernier cas correspond à \frac {2j\pi}n \equiv 0 [2\pi] c'est-a-dire j\equiv 0 [n]
Les deux seuls indices de la somme qui correspondent à ce second cas sont j=0 et j=n

En conclusion
\begin{array}{rcl}\sum_{k=0}^{n-1}\left(z+e^{\frac{2ik\pi}n}\right)^n & = & \sum_{j=0}^{n} {n\choose j} z^{n-j}\,\sum_{k=0}^{n-1} \left( e^{\frac{2ij\pi}n}\right)^k\vspace{5}\\ & = & {n\choose 0} z^{n-0}.n + {n\choose n} z^{n-n}.n \vspace{5}\\ & = & n(z^n+1)\end{array}

ce que ta calculatrice t'avait bien indiqué

Posté par
hGell150
re : Simplification d'une somme 21-07-14 à 14:18

Merci bien !
je me doutais bien qu'il manquait quelque chose.. je ne connaissais pas les doubles sommes ^^ ( je rentre en sup l'an prochain)



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