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Niveau Maths sup
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Simplification d'une somme double

Posté par
apaqamo
31-10-16 à 23:18

Bonjour,
Je bloque sur un exercice qui demande de simplifier une somme double.

Voici l'énoncé:
Soit n\in \mathbb{N} tel que n\geq 2 et \omega = e^{\frac{2\imath\pi }{n}}.

Simplifier la somme double: \sum_{1\leq k<l\leq n}  |\omega^{k} -  \omega^{l}|

Pour le moment, je n'ai que décomposé la somme:

\sum_{1\leq k<l\leq n} |\omega^{k} - \omega^{l}| = \sum_{l=2}^{n} \sum_{k=1}^{l-1} \ |\omega^{k} - \omega^{l} |

Ce qui me pose problème, c'est je ne voit pas comment me débarrasser du "module" dans la somme.

J'espère que vous pourrez me donner une piste pour m'aider à faire cet exercice,
Bonne soirée!

Posté par
etniopal
re : Simplification d'une somme double 31-10-16 à 23:34

\sum_{1\leq p<q\leq n} |\omega^{p} - \omega^{q}|=  \sum_{p=1}^{n}{\sum_{k=1}^{n-p}{ |\omega^{k} - 1| }}  \\ 
 \\ \\
 \\  |\omega^{k} - 1| = 2sin(\frac{k\pi}{n})    

Posté par
apaqamo
re : Simplification d'une somme double 01-11-16 à 11:36

Merci beaucoup !



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