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Simplification de somme

Posté par
Brice2020 15-11-20 à 23:11

Bonsoir à vous s'il vous plaît j'aurai besoin d'aide pour un exercice on me demande de simplifier cette somme
\sum_{k=0}^{n-1}{(-1)^k sin^n(\frac{kpi}{n}-a)}.  j'avais dejà calculer  \sum_{k=0}^{n-1}{(-1)^k cos^n(\frac{kpi}{n}-a)}=\frac{ncos(na)}{2^(n-1)}

Posté par
skywearre : Simplification de somme 15-11-20 à 23:32

comment as-tu calculé la somme avec les cos ?

Posté par
bbjhakanre : Simplification de somme 15-11-20 à 23:33

bonsoir
a est il quelconque?

Posté par
bbjhakanre : Simplification de somme 15-11-20 à 23:34

bonsoir skywear, je te laisse la main

Posté par
Brice2020re : Simplification de somme 15-11-20 à 23:41

Je l'ai calculer à partir de Q(z)=zn- e2ina=(z-ei(2a+2kpi/n indice duduit k allant de 0 à n-1 qui m'as été donnée

Posté par
Brice2020re : Simplification de somme 15-11-20 à 23:46

J'ai fait Q(1) de deux manière en l'éceivant sous la forme ireib où r et a sont des réels

Posté par
skywearre : Simplification de somme 16-11-20 à 15:36

bbjhakan @ 15-11-2020 à 23:34

bonsoir skywear, je te laisse la main


ah c'est bête j'étais parti désolé

Brice2020 @ 15-11-2020 à 23:46

J'ai fait Q(1) de deux manière en l'éceivant sous la forme ireib où r et a sont des réels


Tu peux détailler un peu plus ? Surtout, comment tu aboutis à la somme à partir de Q(1) ? Parce qu'en écrivant 1-e^{2ina}=\prod_{k=0}^{n-1}\left ( 1-e^{2i\left ( a+\frac{k\pi}{n} \right )} \right ) et en déroulant je vois comment obtenir la valeur de \prod_{k=0}^{n-1}\sin\left ( a+\frac{k\pi}{n} \right ), mais je ne vois pas bien le rapport avec ta somme.
A mon avis suffit d'adapter la méthode qui donne la somme des cos pour obtenir la somme des sin, mais sans les détails c'est difficile à dire.

Posté par
jandri Correcteurre : Simplification de somme 17-11-20 à 19:34

Bonjour,
pour répondre à la question initiale il suffit de remplacer a par a+\frac{\pi}2 dans la formule obtenue avec les \cos.

Posté par
jandri Correcteurre : Simplification de somme 17-11-20 à 19:51

J'ajoute que la formule donnée pour les \cos est fausse, il faut remplacer au dénominateur 2(n-1) par 2^{n-1}.

La démonstration n'est pas difficile en développant \cos^n\theta=\dfrac1{2^n}(e^{i\theta}+e^{-i\theta})^n.


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