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Solution complexes

Posté par
IlaneMPSI 10-12-16 à 22:23

Bonjour, alors voila, comme j'ai des difficultés avec les nombre complexe j'ai décider de faire des annales des DS de l'an dernier de mon école. Il y a un exercice ou je bloque, assez compliqué, si vous auriez des pistes à me fournir. Le voici:

Déterminer tous les z ∈ C tels que 3 |z| .z = \bar{z}3

Merci d'avance!

Posté par
verdurinre : Solution complexes 10-12-16 à 22:29

Bonsoir,
tu peux écrire z=\rho\, $e$^{i\theta}
où \rho est un réel positif et \theta un réel.

Posté par
IlaneMPSIre : Solution complexes 10-12-16 à 22:38

Mais comment exprimer \bar{z} de la même maniere?

Posté par
jeansebre : Solution complexes 10-12-16 à 22:44

Bonsoir

\bar{z} =\bar{\rho\e^{i\theta}}= \rho\e^{-i\theta}

Posté par
jeansebre : Solution complexes 10-12-16 à 22:46

Il manque les e:

\bar{z}=\bar{\rho e^{i\theta}}=\rho e^{-i \theta}

Posté par
IlaneMPSIre : Solution complexes 10-12-16 à 22:53

Alors j'ai developer et simplifier l'expression, en conciderant que p=|z| (comme dans mon cour) et j'obtient l'égalité suivante: 3|z| = e-4i

Posté par
IlaneMPSIre : Solution complexes 10-12-16 à 22:56

Mais après je sais pas trop quoi faire pour trouver les z..

Posté par
luzakre : Solution complexes 10-12-16 à 23:15

Pour commencer il y a une erreur !
Après correction ne vois-tu pas l'égalité entre un réel et un complexe ? Difficile d'identifier partie réelle et partie imaginaire ,

Posté par
verdurinre : Solution complexes 10-12-16 à 23:22

La simplification me semble douteuse.
En remplaçant |z| par on arrive à

3\rho \text{e}^{i\theta}=\rho^3 \text{e}^{-3 i\theta}

Deux complexes sont égaux quand ils ont le même module, et des arguments égaux modulo 2.

On doit donc avoir

3\rho =\rho^3\text{ et } \theta=-3\theta \mod 2\pi

On trouve deux valeurs possibles pour et quatre pour (modulo 2).

Posté par
IlaneMPSIre : Solution complexes 10-12-16 à 23:25

Après correction j'ai donc 3= |z|3e-4i

Posté par
luzakre : Solution complexes 10-12-16 à 23:30

C'est toujours faux !

Posté par
IlaneMPSIre : Solution complexes 10-12-16 à 23:32

Au temps pour moi j'ai mis un puissance 3 en plus au module ^^

Posté par
luzakre : Solution complexes 10-12-16 à 23:33

Et aussi tu as simplifié par |z| sans t'occuper de la nullité !

Posté par
IlaneMPSIre : Solution complexes 10-12-16 à 23:38

Je n'ai donc pas le droit de simpifier par |z|? Je laisse donc sous cette forme la?:

3|z|2ei=|z|3e-3i

Posté par
luzakre : Solution complexes 11-12-16 à 09:40

Tu ne comprends donc pas que z=0 est UNE solution.
Pour avoir les autres, tu peux simplifier !

Posté par
IlaneMPSIre : Solution complexes 11-12-16 à 16:17

Merci beaucoup!

Posté par
carpediemre : Solution complexes 11-12-16 à 16:34

salut

en notant z* le conjugué de z :

3|z|z = z^*^3 => 9zz^*z^2 = z^*^6 <=> z^*(z^*^5 - 9z^3) = 0 <=> z^* = 0  ou  z^*^5 - 9z^3 = 0

z^*^5 = 9z^3

on conjugue : z^5 = 9z^*^3

on multiplie membre à membre : (zz^*)^3[(zz^*)^2 - 9] = 0

Posté par
carpediemre : Solution complexes 11-12-16 à 16:38

désolé : erreur de bouton ...

salut

en notant z* le conjugué de z :

3|z|z = z^*^3 => 9zz^*z^2 = z^*^6 <=> z^*(z^*^5 - 9z^3) = 0 <=> z^* = 0  ou  (z^*) ^5 - 9z^3 = 0

z^*^5 = 9z^3

on conjugue : z^5 = 9z^*^3

on multiplie membre à membre : (zz^*)^3[(zz^*)^2 - 9] = 0 <=> |z| = 0  ou  |z| = 3

je travaille par condition nécessaire ... il faut donc vérifier qu'elles sont suffisantes ...

Posté par
luzakre : Solution complexes 11-12-16 à 16:53

Bonsoir carpediem
On ne peut vraiment pas dire que tu fais plus simple que ce qui précède !

Posté par
carpediemre : Solution complexes 11-12-16 à 17:17

non je le reconnais ...

c'est simplement pour ne pas passer par une forme quelconque de z mais rester dans C purement ...

tu me connais je suis un peu puriste sur les bords (et ailleurs aussi) .. heureusement que je ne suis pas puritain cependant ...


un peu mieux ... peut-être ...

3|z|z = z^*^3 => 3|z|zz^* = z^*^4 ... ouais bof ...


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